三角方程式與恆等式
三角方程式（trigonometric equation）通常有無限多解，因此題目會指定一個區間（常見為 \([0,2\pi)\)），或要求寫出一般解。三角恆等式（trigonometric identity）則是對所有有定義的角都成立的等式，用來把式子改寫成更容易計算的形式。本頁對應 CED 主題 3.10–3.12，也介紹 \(\sec\)、\(\csc\)、\(\cot\) 三個倒數函數。
解三角方程式
步驟：
- 把三角函數單獨移到一邊。
- 用單位圓找出 \([0,2\pi)\) 內所有的角。
- 需要一般解時，加上週期：\(\sin\)、\(\cos\) 加 \(2k\pi\)；\(\tan\) 加 \(k\pi\)。
例題：解 \(2\sin\theta+1=0\)，\(0\le\theta<2\pi\)。
\(\sin\theta=-\dfrac12\)，參考角 \(\dfrac{\pi}{6}\)，\(\sin\) 在第三、四象限為負：\(\theta=\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{6}\)。
角度有倍數時
解 \(\cos 2\theta=0\)，\(0\le\theta<2\pi\)：令 \(u=2\theta\)，\(u\) 的範圍變成 \([0,4\pi)\)，\(u=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\)，所以 \(\theta=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\)。
三角不等式
先解出等式的角，把區間分段，再用圖形或代入測試哪幾段成立。例如 \(\sin\theta>\dfrac12\) 在 \([0,2\pi)\) 的解為 \(\dfrac{\pi}{6}<\theta<\dfrac{5\pi}{6}\)。
sec、csc、cot 是什麼？
分母為 0 的地方會出現垂直漸近線，例如 \(\sec\theta\) 在 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)。
必背的恆等式
| 類型 | 恆等式 |
|---|---|
| 畢氏恆等式 | \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) |
| \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\) | |
| \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\) | |
| 和角公式 | \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) |
| \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) | |
| 倍角公式 | \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) |
| \(\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\) |
例題：解 \(\sin 2\theta=\sin\theta\)，\(0\le\theta<2\pi\)。
\(2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta=0\) → \(\sin\theta(2\cos\theta-1)=0\)。
\(\sin\theta=0\)：\(\theta=0,\pi\)；\(\cos\theta=\dfrac12\)：\(\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\)。
不要兩邊同除
例題中若直接兩邊除以 \(\sin\theta\)，會漏掉 \(\sin\theta=0\) 的解。要移項後因式分解。
練習題
1. 解 \(2\cos\theta-\sqrt3=0\)，\(0\le\theta<2\pi\)。
解答
\(\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\)，\(\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\)。
2. 解 \(\tan^2\theta=3\)，\(0\le\theta<2\pi\)。
解答
\(\tan\theta=\pm\sqrt3\)，\(\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\)。
3. 求 \(\sec\dfrac{\pi}{3}\)、\(\csc\dfrac{7\pi}{6}\)、\(\cot\dfrac{3\pi}{4}\)。
解答
\(\sec\dfrac{\pi}{3}=2\)；\(\csc\dfrac{7\pi}{6}=-2\)；\(\cot\dfrac{3\pi}{4}=-1\)。
4. 化簡 \(\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x\cos x}\)。
解答
\(\dfrac{\sin^2 x}{\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)。
5. 用和角公式求 \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) 的精確值（\(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\)）。
解答
\(\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\)。
6. 解 \(2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0\)，\(0\le\theta<2\pi\)。
解答
\((2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0\)。 \(\sin\theta=1\)：\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)；\(\sin\theta=-\dfrac12\)：\(\theta=\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\)。
7. 解不等式 \(\cos\theta\le 0\)，\(0\le\theta<2\pi\)。
解答
\(\cos\theta=0\) 在 \(\dfrac{\pi}{2}\)、\(\dfrac{3\pi}{2}\)；第二、三象限 \(\cos\) 為負。答案：\(\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{3\pi}{2}\)。
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