指數建模
指數模型（exponential model）適合描述「每經過固定時間，數量乘上固定倍數」的情境，例如人口成長、複利、放射性衰變與藥物代謝。本頁對應 CED 主題 2.5–2.6：如何從情境或資料建立指數模型，以及如何用殘差（residual）比較不同模型、判斷哪一個比較合適。
從情境建立指數模型
| 情境描述 | 模型 |
|---|---|
| 每單位時間成長 \(r\)（百分比） | \(f(t)=a(1+r)^t\) |
| 每單位時間衰減 \(r\) | \(f(t)=a(1-r)^t\) |
| 每 \(k\) 單位時間加倍 | \(f(t)=a\cdot 2^{t/k}\) |
| 半衰期為 \(k\) | \(f(t)=a\left(\tfrac12\right)^{t/k}\) |
| 年利率 \(r\)、每年複利 \(n\) 次 | \(A(t)=P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}\) |
| 連續複利 | \(A(t)=Pe^{rt}\) |
例題：一台車買入時 30,000 元，每年折舊 15%。\(V(t)=30000(0.85)^t\)，3 年後約 \(30000(0.85)^3\approx 18{,}423.75\) 元。
用資料建立模型
- 兩點法：已知兩筆資料 \((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)，用 \(\dfrac{y_2}{y_1}=b^{x_2-x_1}\) 解出 \(b\)，再代回求 \(a\)。
- 回歸法：資料較多時，用計算機的指數回歸（
ExpReg）求 \(y=ab^x\)。
怎麼用殘差判斷模型好不好？（Competing Model Validation）
殘差（residual）＝實際值 − 預測值。把殘差對輸入作圖（殘差圖，residual plot）：
- 殘差隨機分布在 0 上下、沒有明顯形狀 → 模型合適。
- 殘差呈現規律圖形（例如 U 字形） → 模型類型可能選錯。
比較兩個模型時，殘差圖較隨機、殘差絕對值較小的模型較適合。
練習題
1. 某放射性物質半衰期 5 年，現有 80 克。寫出 \(t\) 年後剩餘量，並求 15 年後的量。
解答
\(m(t)=80\left(\tfrac12\right)^{t/5}\)。\(m(15)=80\cdot\tfrac18=10\) 克。
2. 1,000 元以年利率 6%、每月複利存入，5 年後本利和多少？（可用計算機）
解答
\(A=1000\left(1+\tfrac{0.06}{12}\right)^{60}=1000(1.005)^{60}\approx 1348.85\) 元。
3. 某指數模型 \(y=ab^x\) 通過 \((1, 15)\) 與 \((3, 135)\)。求 \(a\)、\(b\)。
解答
\(b^2=\dfrac{135}{15}=9\)，\(b=3\)。\(15=3a\)，\(a=5\)。\(y=5\cdot 3^x\)。
4. 用計算機對下列資料做指數回歸，寫出模型（保留三位小數）。
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 2.1 | 3.0 | 4.6 | 6.8 | 10.1 |
解答
ExpReg 約得 \(y\approx 2.070(1.486)^x\)。不同計算機的最後一位小數可能略有差異。
5. 模型 A 的殘差圖呈 U 字形，模型 B 的殘差隨機分布在 0 附近。哪一個模型比較適合？為什麼？
解答
模型 B。殘差沒有規律代表模型已捕捉資料的主要趨勢；U 字形殘差代表模型系統性地高估或低估，類型可能選錯。
推薦影音
2.5A Exponential Function Context and Data Modeling
簡述：The Algebros 講解如何把成長率、加倍時間、半衰期轉換成指數模型，並介紹自然底數 \(e\)。
2.6 Competing Function Model Validation
簡述：說明殘差與殘差圖的意義，示範如何比較線性與指數模型、判斷哪一個比較適合資料，對應本頁練習題 5。