對數建模與半對數圖
對數模型適合描述「一開始變化快、之後越來越慢」的情境，例如學習曲線、聲音分貝與地震規模；半對數圖（semi-log plot）則把 y 軸改成對數刻度，讓指數資料變成一條直線，方便判斷與建立模型。本頁對應 CED 主題 2.14–2.15。
對數模型適合什麼情境？
對數模型的形式為 \(f(x)=a+b\ln x\)（或 \(a+b\log x\)）：
- 輸入乘上固定倍數時，輸出加上固定量。
- 成長越來越慢，但不會有水平漸近線。
| 應用 | 公式 |
|---|---|
| 聲音強度（分貝） | \(L=10\log\dfrac{I}{I_0}\) |
| 酸鹼值 | \(\text{pH}=-\log[\text{H}^+]\) |
| 地震規模 | 規模每增加 1，振幅變為 10 倍 |
計算機可用對數回歸（LnReg）求 \(y=a+b\ln x\)。
半對數圖為什麼能把指數變直線？
若 \(y=ab^x\)，兩邊取 \(\log\)：
把 \(\log y\) 當作縱軸，這就是斜率 \(\log b\)、截距 \(\log a\) 的直線。所以：
- 資料畫在半對數圖上接近直線 → 適合指數模型。
- 從直線的斜率 \(m\) 與截距 \(k\) 反推：\(b=10^m\)、\(a=10^k\)。
例題：半對數圖上的直線為 \(\log y=0.3+0.2x\)，則 \(a=10^{0.3}\approx 1.995\)、\(b=10^{0.2}\approx 1.585\)，模型 \(y\approx 1.995(1.585)^x\)。
練習題
1. 某聲音強度是 \(I_0\) 的 \(10^6\) 倍，分貝數是多少？強度變成 10 倍後呢？
解答
\(L=10\log 10^6=60\) dB。強度 10 倍為 \(10^7 I_0\)，\(L=70\) dB（只增加 10 dB）。
2. 某溶液 \([\text{H}^+]=10^{-3}\)，pH 值是多少？
解答
\(\text{pH}=-\log 10^{-3}=3\)。
3. 半對數圖上的直線為 \(\log y=1+0.5x\)，寫出對應的指數模型 \(y=ab^x\)。
解答
\(a=10^1=10\)，\(b=10^{0.5}=\sqrt{10}\approx 3.162\)。\(y=10(\sqrt{10})^x\)。
4. 指數模型 \(y=4\cdot 3^x\) 畫在半對數圖（以 \(\log y\) 為縱軸）上，直線的斜率與截距各是多少？
解答
\(\log y=\log 4+x\log 3\)，斜率 \(\log 3\approx 0.477\)，截距 \(\log 4\approx 0.602\)。
5. 某學生練習打字，\(f(x)=20+15\ln x\) 表示第 \(x\) 週的每分鐘字數（\(x\ge 1\)）。第 1 週與第 \(e^2\) 週（約第 7.4 週）的速度各是多少？
解答
\(f(1)=20+0=20\) 字／分；\(f(e^2)=20+30=50\) 字／分。
推薦影音
2.14 Logarithmic Function Context and Data Modeling
簡述：The Algebros 說明對數模型適合的情境，並示範用計算機做對數回歸、解釋參數意義。
2.15 Semi-Log Plots
簡述：解釋為什麼指數資料在半對數圖上是一條直線，以及如何從直線的斜率與截距反推指數模型，對應本頁練習題 3、4。