極座標與極座標函數
極座標（polar coordinates）用「距離原點多遠 \(r\)」與「方向角 \(\theta\)」來表示平面上的點，寫成 \((r,\theta)\)。極座標函數 \(r=f(\theta)\) 能輕鬆描述玫瑰線、心臟線等直角座標很難表示的圖形。本頁對應 CED 主題 3.13–3.15：座標轉換、複數的極式、常見極座標圖形，以及 \(r\) 隨 \(\theta\) 變化時點與原點距離的變化。
極座標與直角座標怎麼互換？
| 方向 | 公式 |
|---|---|
| 極座標 → 直角座標 | \(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\) |
| 直角座標 → 極座標 | \(r^2=x^2+y^2\)，\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)（注意象限） |
例題：\(\left(4,\dfrac{2\pi}{3}\right)\) → \(x=4\cos\dfrac{2\pi}{3}=-2\)，\(y=4\sin\dfrac{2\pi}{3}=2\sqrt3\)，即 \((-2,2\sqrt3)\)。
同一點有無限多種極座標表示法，例如 \((r,\theta)=(r,\theta+2\pi)=(-r,\theta+\pi)\)。
複數的極式
複數 \(a+bi\) 可看成點 \((a,b)\)，寫成極式（polar form）：
常見的極座標圖形
| 方程式 | 圖形 | 特徵 |
|---|---|---|
| \(r=a\) | 圓 | 圓心在原點、半徑 \(\lvert a\rvert\) |
| \(\theta=\alpha\) | 直線 | 通過原點 |
| \(r=a\cos\theta\) 或 \(r=a\sin\theta\) | 圓 | 通過原點、直徑 \(\lvert a\rvert\) |
| \(r=a\cos(n\theta)\) 或 \(r=a\sin(n\theta)\) | 玫瑰線（rose） | \(n\) 奇數 → \(n\) 瓣；\(n\) 偶數 → \(2n\) 瓣 |
| \(r=a+b\cos\theta\)（\(\lvert a\rvert=\lvert b\rvert\)） | 心臟線（cardioid） | 在原點有一個尖點 |
| \(r=a+b\cos\theta\)（\(\lvert a\rvert<\lvert b\rvert\)） | 有內圈的蚶線（limaçon） | 會通過原點兩次 |
| \(r=a+b\cos\theta\)（\(\lvert a\rvert>\lvert b\rvert\)） | 無內圈的蚶線 | 不通過原點 |
極座標函數的變化率
在某個 \(\theta\) 區間中：
- \(r>0\) 且 \(r\) 遞增 → 點遠離原點。
- \(r>0\) 且 \(r\) 遞減 → 點靠近原點。
- \(r<0\) 且 \(r\) 遞減 → \(\lvert r\rvert\) 變大，點遠離原點。
- \(r<0\) 且 \(r\) 遞增 → \(\lvert r\rvert\) 變小，點靠近原點。
平均變化率 \(\dfrac{r(\theta_2)-r(\theta_1)}{\theta_2-\theta_1}\) 表示每增加 1 弧度，\(r\) 平均改變多少。
練習題
1. 把 \(\left(6,\dfrac{\pi}{6}\right)\) 換成直角座標。
解答
\(x=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\)，\(y=6\cdot\dfrac12=3\)，即 \((3\sqrt3,3)\)。
2. 把直角座標 \((-1,-1)\) 換成 \(r>0\)、\(0\le\theta<2\pi\) 的極座標。
解答
\(r=\sqrt2\)；點在第三象限，\(\theta=\dfrac{5\pi}{4}\)。答案 \(\left(\sqrt2,\dfrac{5\pi}{4}\right)\)。
3. \(r=3\sin(4\theta)\) 是什麼圖形？有幾瓣？每瓣最長多少？
解答
玫瑰線，\(n=4\) 為偶數，有 \(8\) 瓣，每瓣長 \(3\)。
4. 判斷 \(r=2+2\cos\theta\) 與 \(r=1+3\cos\theta\) 的圖形類型。
解答
\(r=2+2\cos\theta\)：\(\lvert a\rvert=\lvert b\rvert\)，心臟線。 \(r=1+3\cos\theta\)：\(\lvert a\rvert<\lvert b\rvert\)，有內圈的蚶線。
5. 把複數 \(1+\sqrt3 i\) 寫成極式。
解答
\(r=\sqrt{1+3}=2\)，\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\)。\(1+\sqrt3i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)。
6. \(r=1+2\sin\theta\)。在 \(\dfrac{\pi}{6}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) 時，點靠近還是遠離原點？
解答
此區間 \(\sin\theta\) 從 \(\tfrac12\) 增加到 \(1\)，\(r\) 從 \(2\) 增加到 \(3\)。\(r>0\) 且遞增，點遠離原點。
7. 承第 6 題，求 \(r\) 在 \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) 的平均變化率。
解答
\(r(0)=1\)、\(r\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=3\)。平均變化率 \(=\dfrac{3-1}{\pi/2}=\dfrac{4}{\pi}\approx 1.273\)。
推薦影音
3.13 Trigonometric and Polar Coordinates
簡述：The Algebros 說明極座標的意義、與直角座標的轉換，以及複數的極式，對應本頁練習題 1、2、5。
3.14A Polar Graphs
簡述：示範如何從 \(r\) 對 \(\theta\) 的直角座標圖畫出極座標圖，並介紹圓、玫瑰線、蚶線等常見圖形。
3.15 Rates of Change in Polar Functions
簡述：講解 \(r\) 的正負與增減如何決定點靠近或遠離原點，以及極座標函數平均變化率的意義，對應本頁練習題 6、7。