微分方程
微分方程（differential equation）是含有導數的方程式，描述「變化率取決於目前狀態」的系統，例如人口越多成長越快、溫差越大冷卻越快、捕食者與獵物數量互相影響。IB Math AI HL 學習用分離變數法求精確解、用斜率場與 Euler 法看出解的行為，並用特徵值分析耦合系統的相圖。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 5.14～5.18）。
HL 限定單元
本頁全部內容只屬於 HL，需要先學會 進階微積分（HL） 與 矩陣與特徵值（HL）。
建立模型與分離變數法
把文字敘述翻譯成微分方程，例如「人口成長率與人口數成正比」寫成 \(\dfrac{dP}{dt} = kP\)。
分離變數法（separation of variables）適用於 \(\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)：
- 把 \(y\) 移到一邊、\(x\) 移到另一邊：\(\dfrac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx\)。
- 兩邊積分，只需要加一個常數 \(C\)。
- 用初始條件求 \(C\)，必要時解出 \(y\)。
經典模型：牛頓冷卻定律
\(\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{室溫}})\)，解為 \(T = T_{\text{室溫}} + Ae^{-kt}\)。這正是 函數模型 中「帶漸近線的指數模型」的來源。
斜率場
斜率場（slope field）在平面上每一點畫一小段斜率為 \(\dfrac{dy}{dx}\) 的線段。不必解出方程式，就能看出解曲線的形狀：沿著線段的方向畫，就是通過某初始點的解曲線。
- 斜率為 0 的點連成的曲線稱為零斜率等斜線（isocline），解曲線在那裡是水平的。
- 檢查題目給的斜率場是否正確：挑幾個點代入 \(\dfrac{dy}{dx}\)，比對線段的傾斜方向。
Euler 法
Euler 法（Euler's method）用很多段短直線近似解曲線，步長為 \(h\)：
- 步長越小，近似越準確，但計算次數越多。
- 考試中用 GDC 的表格或序列功能（sequence mode）快速重複計算。
- 解曲線向上凹時，Euler 法會低估；向下凹時會高估。
耦合系統也能用 Euler 法：同時更新兩個變數
二階微分方程（例如 \(\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = 0\)）令 \(y = \dfrac{dx}{dt}\)，就能改寫成兩個一階方程式的耦合系統，再用 Euler 法或特徵值分析。
耦合線性系統與相圖
耦合線性系統（coupled linear system）
若 \(M\) 有相異實特徵值 \(\lambda_1, \lambda_2\)，對應特徵向量 \(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\)，精確解為
相圖（phase portrait）畫出 \((x, y)\) 隨時間移動的軌跡。原點是平衡點，它的性質由特徵值決定：
| 特徵值 | 平衡點類型 | 軌跡行為 |
|---|---|---|
| 兩個正實數 | 不穩定節點（unstable node） | 從原點往外跑 |
| 兩個負實數 | 穩定節點（stable node） | 往原點收斂 |
| 一正一負 | 鞍點（saddle point） | 沿負特徵值方向靠近、沿正特徵值方向遠離；不穩定 |
| 複數，實部 > 0 | 不穩定螺旋（unstable spiral） | 向外旋轉 |
| 複數，實部 < 0 | 穩定螺旋（stable spiral） | 向內旋轉收斂 |
| 純虛數（實部 = 0） | 中心（centre） | 繞原點的封閉橢圓 |
複數特徵值時，旋轉方向（順時針或逆時針）可以在某點（例如 \((1, 0)\)）代入 \(\dot{y}\) 的正負號判斷。
推薦影音
微分方程入門
簡述：Revision Village 介紹微分方程的意義、如何從情境建立方程式，以及分離變數法。
斜率場
簡述：Revision Village 示範如何畫斜率場、從斜率場畫出解曲線，以及判斷斜率場對應哪個方程式。
Euler 法
簡述：Revision Village 講解 Euler 法的公式並用 GDC 示範逐步計算，對應本頁「Euler 法」。
耦合微分方程的精確解
簡述：George Turner 依 Oxford HL AI 課本，示範用特徵值與特徵向量寫出耦合系統的精確解。
耦合系統的相圖
簡述：George Turner 接續上一支影片，示範依特徵值類型畫出相圖（節點、鞍點、螺旋），對應本頁「耦合線性系統與相圖」。
練習題
練習 1
解 \(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2y\)，\(y(0) = 2\)。
參考解答
\(\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy = \int 3x^2\,dx \Rightarrow \ln|y| = x^3 + C \Rightarrow y = Ae^{x^3}\)。
代入 \(y(0) = 2\)：\(A = 2\)，所以 \(y = 2e^{x^3}\)。
練習 2
一杯 \(90\) °C 的咖啡放在 \(20\) °C 的房間，滿足 \(\dfrac{dT}{dt} = -k(T - 20)\)。5 分鐘後溫度為 \(60\) °C。
(a) 求 \(T(t)\)。 (b) 求 \(k\)。
參考解答
(a) 分離變數得 \(T = 20 + Ae^{-kt}\)，\(T(0) = 90 \Rightarrow A = 70\)：\(T = 20 + 70e^{-kt}\)。
(b) \(60 = 20 + 70e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = \dfrac{4}{7} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5}\ln\dfrac{7}{4} \approx 0.112\)。
練習 3
用 Euler 法、步長 \(h = 0.1\)，估計 \(\dfrac{dy}{dx} = x + y\)、\(y(0) = 1\) 在 \(x = 0.3\) 的值。已知精確解為 \(y = 2e^x - x - 1\)，比較兩者。
參考解答
| \(n\) | \(x_n\) | \(y_n\) | \(f(x_n, y_n)\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0.1 | 1.1 | 1.2 |
| 2 | 0.2 | 1.22 | 1.42 |
| 3 | 0.3 | 1.362 | — |
Euler 估計 \(y(0.3) \approx 1.362\)；精確值 \(2e^{0.3} - 1.3 \approx 1.400\)。Euler 法低估，因為解曲線向上凹。
練習 4
對 \(\dfrac{dy}{dx} = x - y\)，求點 \((1, 1)\)、\((2, 0)\)、\((0, 2)\) 的斜率，並寫出零斜率等斜線。
參考解答
斜率分別為 \(0\)、\(2\)、\(-2\)。零斜率等斜線為 \(y = x\)。
練習 5
耦合系統 \(\dot{x} = x + 2y\)、\(\dot{y} = 2x + y\)。
(a) 求係數矩陣的特徵值與特徵向量。 (b) 寫出一般解。 (c) 判斷原點平衡點的類型。
參考解答
(a) \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)，\(\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3\) 或 \(-1\)。
- \(\lambda = 3\)：特徵向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
- \(\lambda = -1\)：特徵向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
(b) \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = Ae^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + Be^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
(c) 一正一負的特徵值：鞍點。軌跡沿 \(y = -x\) 方向靠近原點，再沿 \(y = x\) 方向遠離。
練習 6
把 \(\dfrac{d^2x}{dt^2} + 3\dfrac{dx}{dt} + 2x = 0\) 改寫成耦合系統，並判斷平衡點類型。
參考解答
令 \(y = \dfrac{dx}{dt}\)：\(\dot{x} = y\)、\(\dot{y} = -2x - 3y\)，矩陣 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\)。
\(\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = -1, -2\)，兩個負實數：穩定節點，所有軌跡收斂到原點（例如有阻尼的彈簧最後靜止）。