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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

積分

積分（integration）是微分的反運算，也是計算累積量的工具：把速度對時間積分得到位移，把流量對時間積分得到總水量，把曲線下的高度積分得到面積。IB Math AI SL 與 HL 共同學習反導數、定積分與面積，以及用梯形法則從資料估計面積（課綱 5.5、5.8）。

反導數（不定積分）

若 \(F'(x) = f(x)\)，則 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的反導數（antiderivative）。SL 只需要冪次函數的反導數：

\[ \int ax^n\,dx = \frac{a}{n + 1}x^{n+1} + C, \quad n \ne -1 \]

常數 \(C\) 稱為積分常數：導數相同的函數可以差一個常數，所以反導數是一整族曲線。

已知邊界條件求 \(C\)：若題目給一個點（例如 \(f(1) = 5\)），把它代入反導數就能解出 \(C\)，得到唯一的函數。

定積分與面積

定積分（definite integral）：

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

若 \(f(x) \ge 0\)，\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) 就是曲線 \(y = f(x)\)、\(x\) 軸、\(x = a\) 與 \(x = b\) 圍成的面積。

  • IB Math AI 允許用 GDC 計算定積分：TI-84 用 fnInt(f(x), x, a, b)，或在圖形畫面用 \(\int f(x)dx\)。
  • 作答時要寫出積分式（這一步有分數），再寫 GDC 的結果。
  • 曲線在 \(x\) 軸下方時積分值為負，面積要取絕對值；HL 會處理這種情況。

梯形法則

當函數未知、只有資料點時，可以把曲線下的區域切成 \(n\) 個等寬的梯形來估計面積：

\[ \int_a^b y\,dx \approx \frac{h}{2}\Big[(y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\Big], \quad h = \frac{b - a}{n} \]
  • 頭尾兩個 \(y\) 值各算一次，中間的 \(y\) 值各算兩次。
  • \(n\) 是梯形（區間）個數，不是資料點個數；資料點有 \(n + 1\) 個。
  • 曲線向上凹（concave up）時，梯形法則高估面積；向下凹時低估。

推薦影音

反導數基礎

簡述：Revision Village 介紹反導數與積分常數，並示範用邊界條件求出 \(C\)，對應本頁「反導數」。

求曲線下的面積

簡述：Revision Village 示範定積分的計算與 GDC 求面積的操作，對應本頁「定積分與面積」。

梯形法則

簡述：Revision Village 講解梯形法則公式、\(h\) 的計算與高估低估的判斷，並示範從表格資料估計面積。

練習題

練習 1

求 \(\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx\)。

參考解答

\(2x^3 - 2x^2 + 3x + C\)

練習 2

\(f'(x) = 3x^2 + 2\)，且 \(f(1) = 5\)。求 \(f(x)\)。

參考解答

\(f(x) = x^3 + 2x + C\)。代入 \(f(1) = 5\)：\(1 + 2 + C = 5 \Rightarrow C = 2\)。

\(f(x) = x^3 + 2x + 2\)。

練習 3

求曲線 \(y = -x^2 + 4x\) 與 \(x\) 軸圍成的面積。

參考解答

與 \(x\) 軸交於 \(x = 0\)、\(x = 4\)，區間內 \(y \ge 0\)。

\[ A = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^4 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{32}{3} \approx 10.7 \]

練習 4

一條河的寬度為 \(4\) m，每隔 \(1\) m 測量的水深如下。用梯形法則估計河流截面積。

距岸邊 \(x\)（m） 0 1 2 3 4
水深 \(y\)（m） 3 5 6 5.5 4
參考解答

\(h = 1\)、\(n = 4\)：

\[ A \approx \frac{1}{2}\Big[(3 + 4) + 2(5 + 6 + 5.5)\Big] = \frac{1}{2}(7 + 33) = 20 \text{ m}^2 \]

練習 5

用梯形法則、\(n = 4\) 估計 \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\)，再與準確值比較，求百分比誤差並說明為何是高估。

參考解答

\(h = 0.5\)，\(y\) 值：\(0, 0.25, 1, 2.25, 4\)。

估計值 \(= \dfrac{0.5}{2}\Big[(0 + 4) + 2(0.25 + 1 + 2.25)\Big] = 0.25 \times 11 = 2.75\)。

準確值 \(= \dfrac{8}{3} \approx 2.667\)，百分比誤差 \(= \dfrac{2.75 - 2.667}{2.667} \times 100\% \approx 3.13\%\)。

\(y = x^2\) 向上凹，梯形的上緣在曲線上方，所以高估。