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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

機率

機率（probability）是 0 到 1 之間的數，衡量一件事發生的可能性。IB Math AI 的機率題重點不在複雜的排列組合，而是用 Venn 圖、樹狀圖或表格整理資訊，再計算聯集、條件機率與期望值。本頁屬於 SL 與 HL 共同內容（課綱 4.5～4.7）。

基本概念

  • 試驗（trial）：一次實驗，例如擲一次骰子；結果（outcome）：試驗可能出現的情形。
  • 樣本空間 \(U\)：所有可能結果的集合；事件 \(A\)：部分結果的集合。
  • 結果等可能時：\(P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}\)。
  • 餘事件：\(P(A') = 1 - P(A)\)。
  • 期望次數：試驗 \(n\) 次，事件 \(A\) 預期發生 \(n \times P(A)\) 次。

組合事件的公式

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
關係 定義 公式
互斥（mutually exclusive） \(A\)、\(B\) 不可能同時發生 \(P(A \cap B) = 0\)
獨立（independent） 一事件發生不影響另一事件的機率 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)
條件機率（conditional） 已知 \(B\) 發生時 \(A\) 的機率 \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

互斥 ≠ 獨立

互斥的兩事件（機率都大於 0）一定不獨立：因為一個發生了，另一個的機率就變成 0。

Venn 圖、樹狀圖與表格

Venn 圖適合兩、三個事件「重疊」的情況。填圖時先填最中間的交集，再往外填。

樹狀圖適合依序發生的事件，例如先下雨、再遲到。規則是：

  • 沿著同一條路徑相乘；不同路徑的結果相加。
  • 第二層的分支是條件機率，例如 \(P(\text{遲到} \mid \text{下雨})\)。
  • 抽後不放回（without replacement）時，第二次的分母要減 1。

雙向表（two-way table）適合兩個類別變數的次數資料，直接讀出條件機率。

離散隨機變數與期望值

離散隨機變數（discrete random variable）\(X\) 的每個值都有一個機率，所有機率總和為 1：

\[ \sum P(X = x) = 1 \]

期望值（expected value）是長期平均結果：

\[ E(X) = \sum x\,P(X = x) \]

公平遊戲（fair game）：玩家的期望淨收益為 0。

推薦影音

Venn 圖與機率

簡述：Revision Village 示範用 Venn 圖整理資訊、計算聯集與條件機率，對應本頁「Venn 圖」。

樹狀圖與機率

簡述：Revision Village 講解樹狀圖的畫法、放回與不放回抽樣，以及用樹狀圖求條件機率，對應本頁「樹狀圖」。

練習題

練習 1

班上 40 位同學中，22 位踢足球（F）、15 位打籃球（B）、7 位兩者都有。

(a) 隨機選一位同學，兩種都不玩的機率是多少？ (b) 已知某同學打籃球，他也踢足球的機率是多少？

參考解答

只踢足球 \(22 - 7 = 15\)、只打籃球 \(15 - 7 = 8\)，至少玩一種 \(= 15 + 7 + 8 = 30\)。

(a) \(P(\text{都不玩}) = \dfrac{40 - 30}{40} = 0.25\)

(b) \(P(F \mid B) = \dfrac{7}{15} \approx 0.467\)

練習 2

\(P(A) = 0.4\)、\(P(B) = 0.5\)、\(P(A \cap B) = 0.2\)。\(A\)、\(B\) 是否獨立？求 \(P(A \cup B)\)。

參考解答

\(P(A)P(B) = 0.2 = P(A \cap B)\)，所以獨立。

\(P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7\)。

練習 3

某天下雨的機率是 \(0.3\)。下雨時小明遲到的機率是 \(0.4\)；不下雨時遲到的機率是 \(0.1\)。

(a) 小明遲到的機率是多少？ (b) 已知小明遲到，那天下雨的機率是多少？

參考解答

(a) \(P(L) = 0.3 \times 0.4 + 0.7 \times 0.1 = 0.12 + 0.07 = 0.19\)

(b) \(P(R \mid L) = \dfrac{0.12}{0.19} \approx 0.632\)

練習 4

袋中有 5 顆紅球、3 顆藍球，不放回地抽 2 顆。求 (a) 兩顆都是紅球、(b) 一紅一藍的機率。

參考解答

(a) \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{5}{14} \approx 0.357\)

(b) 紅藍或藍紅：\(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{28} \approx 0.536\)

練習 5

隨機變數 \(X\) 的機率分配如下，求 \(k\) 與 \(E(X)\)。

\(x\) 0 1 2 3
\(P(X = x)\) 0.1 0.3 \(k\) 0.2
參考解答

\(0.1 + 0.3 + k + 0.2 = 1 \Rightarrow k = 0.4\)。

\(E(X) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2) = 1.7\)。

練習 6

玩一次遊戲要付 \(2\) 美元，擲一顆骰子，擲出 6 可得 \(10\) 美元，否則沒有獎金。

(a) 求玩家每次的期望淨收益。 (b) 獎金應改為多少，遊戲才公平？

參考解答

(a) \(E = 10 \times \dfrac{1}{6} - 2 \approx -0.333\) 美元，平均每玩一次虧約 \(0.33\) 美元。

(b) 令 \(\dfrac{w}{6} - 2 = 0\)，\(w = 12\) 美元。