進階微積分
進階微積分把 SL 的冪次微積分推廣到指數、對數與三角函數，並加入連鎖律、乘法與除法法則，讓你能處理真實模型中常見的複合函數。本頁也介紹二階導數、相關變率、旋轉體體積與運動學，這些是 HL Paper 2 與 Paper 3 的常見主題。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 5.9～5.13）。
常用函數的導數
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\)（\(n \in \mathbb{Q}\)） | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
三角函數的微積分一律使用弧度。
連鎖律、乘法與除法法則
連鎖律（chain rule）處理合成函數 \(y = g(u)\)、\(u = f(x)\)：
乘法法則（product rule）：\(y = uv\) 時
除法法則（quotient rule）：\(y = \dfrac{u}{v}\) 時
二階導數與凹凸性
二階導數 \(f''(x)\) 是導數的導數，描述斜率本身的變化：
- \(f''(x) > 0\)：曲線向上凹（concave up），像杯子。
- \(f''(x) < 0\)：曲線向下凹（concave down），像帽子。
- 反曲點（point of inflection）：凹凸性改變的點，\(f''(x) = 0\) 且兩側符號改變。
二階導數檢驗：在 \(f'(a) = 0\) 的駐點，若 \(f''(a) < 0\) 為局部極大，\(f''(a) > 0\) 為局部極小。
相關變率
相關變率（related rates）處理「兩個量都隨時間變化、且彼此有關係」的問題，例如氣球膨脹時半徑與體積同時增加。用連鎖律連接已知變率與所求變率：
步驟：寫出量之間的關係式 → 對 \(t\) 微分 → 代入題目給的瞬間數值。注意最後才代入數值，先代入會讓變數變成常數。
進階積分
常用函數的不定積分：
| \(f(x)\) | \(\displaystyle\int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(x^n\)（\(n \ne -1\)） | \(\dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln\lvert x \rvert + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
觀察法與變數代換：若被積函數形如 \(f'(x)\,g\big(f(x)\big)\)，令 \(u = f(x)\) 可以化簡。
面積的延伸：
- 曲線在 \(x\) 軸下方時，面積 \(= \left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right|\)；跨越 \(x\) 軸時要分段計算。
- 曲線與 \(y\) 軸圍成的面積：\(\displaystyle\int_c^d x\,dy\)，要先把曲線改寫成 \(x = g(y)\)。
旋轉體體積
曲線繞軸旋轉 \(360°\) 形成的立體體積：
運動學
物體沿直線運動，位移 \(s(t)\)、速度 \(v(t)\)、加速度 \(a(t)\) 的關係：
- 位移（displacement）\(= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt\)，可以是負的。
- 移動距離（distance travelled）\(= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt\)，永遠非負。
- 物體在 \(v(t) = 0\) 且 \(v\) 變號時改變方向。
推薦影音
進階微分法則
簡述：Revision Village 示範連鎖律、乘法與除法法則，以及三角、指數、對數函數的微分。
二階導數
簡述：Revision Village 講解凹凸性、反曲點與二階導數檢驗，對應本頁「二階導數與凹凸性」。
相關變率
簡述：Revision Village 用氣球、水槽等經典題型示範相關變率的解題步驟。
旋轉體體積
簡述：Revision Village 示範繞 \(x\) 軸與 \(y\) 軸的旋轉體體積公式與 GDC 計算。
運動學與積分
簡述：George Turner 依 Oxford HL AI 課本習題講解位移、速度、加速度與移動距離的積分計算，對應本頁「運動學」。
練習題
練習 1
求下列函數的導數：
(a) \(y = (3x^2 + 1)^5\) (b) \(y = x^2e^{3x}\) (c) \(y = \dfrac{\ln x}{x}\) (d) \(y = \sin(2x)\)
參考解答
(a) 連鎖律：\(5(3x^2 + 1)^4 \times 6x = 30x(3x^2 + 1)^4\)
(b) 乘法法則：\(2xe^{3x} + 3x^2e^{3x} = xe^{3x}(2 + 3x)\)
(c) 除法法則：\(\dfrac{x \cdot \frac{1}{x} - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\)
(d) \(2\cos(2x)\)
練習 2
\(f(x) = x^3 - 3x^2\)。用二階導數判斷駐點類型，並求反曲點。
參考解答
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)，駐點 \(x = 0\)、\(x = 2\)。\(f''(x) = 6x - 6\)。
- \(f''(0) = -6 < 0\)：局部極大 \((0, 0)\)
- \(f''(2) = 6 > 0\)：局部極小 \((2, -4)\)
- \(f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1\)，且兩側符號改變：反曲點 \((1, -2)\)
練習 3
球形氣球的半徑以每秒 \(2\) cm 的速率增加。當半徑為 \(10\) cm 時，體積增加的速率是多少？
參考解答
\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)，\(\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} = 4\pi(100)(2) = 800\pi \approx 2510\) cm³/s。
練習 4
求 (a) \(\displaystyle\int\left(e^{2x} + 3\cos x + \frac{1}{x}\right)dx\) (b) \(\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx\)
參考解答
(a) \(\dfrac{1}{2}e^{2x} + 3\sin x + \ln|x| + C\)
(b) 令 \(u = x^2 + 1\)，\(du = 2x\,dx\)：\(\displaystyle\int u^3\,du = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C\)
練習 5
曲線 \(y = \sqrt{x}\)（\(0 \le x \le 4\)）繞 \(x\) 軸旋轉一圈，求旋轉體體積。
參考解答
練習 6
質點速度 \(v(t) = t^2 - 4t + 3\)（m/s），\(0 \le t \le 4\)。
(a) 求加速度 \(a(t)\)。 (b) 求 \(0 \le t \le 4\) 的位移。 (c) 求 \(0 \le t \le 4\) 的移動距離。
參考解答
(a) \(a(t) = 2t - 4\)
(b) \(\displaystyle\int_0^4 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^4 = \frac{4}{3} \approx 1.33\) m
(c) \(v(t) = (t - 1)(t - 3)\) 在 \(t = 1, 3\) 變號，分段積分：
\(\displaystyle\int_0^1 v\,dt = \frac{4}{3}\)、\(\displaystyle\int_1^3 v\,dt = -\frac{4}{3}\)、\(\displaystyle\int_3^4 v\,dt = \frac{4}{3}\)
距離 \(= \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4\) m（GDC：fnInt(abs(v), t, 0, 4)）。