數列與級數
數列（sequence）是一串依規律排列的數，級數（series）是把數列的項加起來。IB Math AI 只考兩種最重要的數列：每次加固定值的等差數列，與每次乘固定倍數的等比數列。它們分別描述「線性成長」與「指數成長」，也是 財務數學 的基礎。SL 與 HL 共同學習課綱 1.2、1.3；HL 再加上無窮等比級數（1.11）。
等差數列（Arithmetic sequence）
等差數列每一項都比前一項多一個固定值，這個值叫公差 \(d\)（common difference）。
前 \(n\) 項和（公式表都有提供）：
常見應用：單利（simple interest）、每排座位數固定增加的劇場、每月固定存款金額。
例題
等差數列 \(u_1 = 7\)、\(d = 4\)。求第 15 項與前 15 項和。
\(u_{15} = 7 + 14 \times 4 = 63\)，\(S_{15} = \dfrac{15}{2}(7 + 63) = 525\)。
等比數列（Geometric sequence）
等比數列每一項都是前一項乘上固定倍數，這個倍數叫公比 \(r\)（common ratio）。
前 \(n\) 項和：
常見應用：人口成長、細菌繁殖、複利、放射性衰變、折舊。
成長率與公比的關係
「每年成長 \(5\%\)」代表 \(r = 1.05\)；「每年減少 \(12\%\)」代表 \(r = 0.88\)。把百分比轉成公比是最常見的第一步。
什麼時候超過某個值？
問「第幾年人口會超過 X」時，列出不等式 \(u_1 r^{n-1} > X\)，再用 GDC 的表格功能（TABLE）找第一個符合的 \(n\)，或用對數求解。最後一定要回到題意判斷 \(n\) 代表「第幾項」還是「經過幾年」。
無窮等比級數
當 \(|r| < 1\) 時，等比數列的項會越來越小，無限多項的總和會趨近一個固定值：
若 \(|r| \ge 1\)，總和會無限變大（發散），沒有 \(S_\infty\)。
HL 延伸：彈跳球問題
球從 \(h\) 公尺落下，每次彈回前一次高度的 \(r\) 倍。總移動距離 \(= h + 2 \times \dfrac{rh}{1 - r}\)：第一次只有落下，之後每次彈跳都「上去再下來」，所以要乘 2。
推薦影音
等差數列與級數
簡述：Revision Village 從公差、通項到求和逐步講解，並示範用 GDC 加速計算，對應本頁「等差數列」一節。
等比數列與級數
簡述：Revision Village 講解公比、通項、前 \(n\) 項和與無窮級數，包含 HL 的 \(S_\infty\)，適合學完本頁後複習。
練習題
練習 1
等差數列的第 3 項是 \(11\)，第 10 項是 \(32\)。求 \(u_1\)、\(d\) 與 \(S_{20}\)。
參考解答
\(u_{10} - u_3 = 7d = 21\)，所以 \(d = 3\)，\(u_1 = 11 - 2 \times 3 = 5\)。
\(S_{20} = \dfrac{20}{2}\big(2 \times 5 + 19 \times 3\big) = 10 \times 67 = 670\)。
練習 2
劇場第一排有 \(20\) 個座位，之後每排比前一排多 \(2\) 個，共 \(25\) 排。劇場總共有幾個座位？
參考解答
\(u_1 = 20\)、\(d = 2\)、\(n = 25\)：\(S_{25} = \dfrac{25}{2}(40 + 24 \times 2) = 12.5 \times 88 = 1100\) 個座位。
練習 3
等比數列 \(3, 6, 12, 24, \dots\)。求第 8 項與前 8 項和。
參考解答
\(r = 2\)。\(u_8 = 3 \times 2^{7} = 384\)；\(S_8 = \dfrac{3(2^8 - 1)}{2 - 1} = 765\)。
練習 4
某鎮人口目前是 \(5000\) 人，每年成長 \(4\%\)。
(a) 10 年後人口約多少？ (b) 至少要經過幾年，人口才會超過 \(10\,000\)？
參考解答
(a) \(5000 \times 1.04^{10} \approx 7401.2\)，約 \(7400\) 人（3 s.f.）。
(b) 解 \(5000 \times 1.04^{n} > 10\,000\)，即 \(1.04^n > 2\)，\(n > \dfrac{\ln 2}{\ln 1.04} \approx 17.7\)，所以至少要 18 年。
練習 5
球從 \(2\) m 高處落下，每次彈回前一次高度的 \(70\%\)。若球無限次彈跳，總移動距離是多少？
參考解答
第一次落下 \(2\) m。之後每次彈起高度構成 \(u_1 = 1.4\)、\(r = 0.7\) 的等比數列，上去再下來要乘 2：