機率分配
機率分配（probability distribution）描述隨機變數每個可能值出現的機率。IB Math AI SL 與 HL 共同學習兩種最重要的分配：描述「固定次數試驗中成功幾次」的二項分配，與描述身高、考試成績等連續資料的常態分配（課綱 4.8、4.9）。HL 的 Poisson 分配請見 統計推論與 Markov 鏈（HL）。
二項分配
隨機變數 \(X\) 服從二項分配 \(X \sim B(n, p)\) 的四個條件：
- 試驗次數 \(n\) 固定。
- 每次試驗只有兩種結果：成功或失敗。
- 每次成功機率 \(p\) 相同。
- 各次試驗互相獨立。
GDC 函數：
| 要算的機率 | TI-84 指令 |
|---|---|
| \(P(X = r)\) | binompdf(n, p, r) |
| \(P(X \le r)\) | binomcdf(n, p, r) |
| \(P(X \ge r)\) | 1 − binomcdf(n, p, r − 1) |
| \(P(X > r)\) | 1 − binomcdf(n, p, r) |
「至少」與「多於」
離散分配中 \(P(X \ge 4) \ne P(X > 4)\)。把題目的文字仔細轉成不等式：「至少 4」是 \(\ge 4\)，「多於 4」是 \(\ge 5\)。
常態分配
常態分配 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 是一條以平均數 \(\mu\) 為中心、左右對稱的鐘形曲線，\(\sigma\) 是標準差。
- 約 68% 的資料落在 \(\mu \pm \sigma\)，約 95% 落在 \(\mu \pm 2\sigma\)，約 99.7% 落在 \(\mu \pm 3\sigma\)。
- 曲線下總面積為 1，任一區間的機率就是該區間的面積。
- 連續分配中 \(P(X = a) = 0\)，所以 \(P(X < a) = P(X \le a)\)。
標準化：\(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)，\(Z \sim N(0, 1)\)。\(z\) 值代表「離平均數幾個標準差」。
GDC 函數：
| 要算的東西 | TI-84 指令 |
|---|---|
| \(P(a < X < b)\) | normalcdf(a, b, μ, σ) |
| \(P(X > a)\) | normalcdf(a, 1E99, μ, σ) |
| 已知 \(P(X < a) = p\)，求 \(a\) | invNorm(p, μ, σ) |
反常態問題
題目給機率、問數值時用 invNorm。若平均數或標準差未知，先用 invNorm(p, 0, 1) 求出 \(z\)，再解 \(\dfrac{a - \mu}{\sigma} = z\)。
畫圖再計算
做常態分配題時，先畫一條鐘形曲線、標出 \(\mu\) 與要求的區域，可以避免「左尾、右尾」搞混，也能檢查答案是否合理（例如右尾機率應該小於 0.5）。
推薦影音
二項分配
簡述：Revision Village 說明二項分配的條件、公式與 GDC 的 binompdf／binomcdf，並示範「至少」「最多」的轉換。
常態分配
簡述：Revision Village 講解常態曲線、normalcdf 與 invNorm，以及未知平均數或標準差的題型，對應本頁「常態分配」。
練習題
練習 1
\(X \sim B(10, 0.3)\)。求 (a) \(P(X = 3)\)、(b) \(P(X \le 2)\)、(c) \(P(X \ge 4)\)、(d) \(E(X)\) 與 \(\text{Var}(X)\)。
參考解答
(a) binompdf(10, 0.3, 3) \(\approx 0.267\)
(b) binomcdf(10, 0.3, 2) \(\approx 0.383\)
(c) $1 - $ binomcdf(10, 0.3, 3) \(\approx 0.350\)
(d) \(E(X) = 3\)，\(\text{Var}(X) = 10(0.3)(0.7) = 2.1\)
練習 2
一份測驗有 20 題四選一的選擇題，小華全部用猜的。及格需要答對至少 8 題，他及格的機率是多少？
參考解答
\(X \sim B(20, 0.25)\)，$P(X \ge 8) = 1 - $ binomcdf(20, 0.25, 7) \(\approx 0.102\)。
練習 3
某校學生身高 \(H \sim N(170, 8^2)\)（cm）。
(a) 求 \(P(H > 180)\)。 (b) 求 \(P(160 < H < 175)\)。 (c) 最高的 10% 學生身高至少多少？
參考解答
(a) normalcdf(180, 1E99, 170, 8) \(\approx 0.106\)
(b) normalcdf(160, 175, 170, 8) \(\approx 0.628\)
(c) invNorm(0.9, 170, 8) \(\approx 180\) cm（\(180.25\)）
練習 4
某機器裝填的果汁量 \(X \sim N(50, \sigma^2)\)（mL），已知 \(P(X < 56) = 0.9\)。求 \(\sigma\)。
參考解答
invNorm(0.9, 0, 1) \(\approx 1.2816\)，所以 \(\dfrac{56 - 50}{\sigma} = 1.2816\)，\(\sigma \approx 4.68\) mL。
練習 5
延續練習 3，隨機選 5 位學生，至少一位身高超過 180 cm 的機率是多少？
參考解答
每人超過 180 cm 的機率 \(p \approx 0.1056\)，令 \(Y \sim B(5, 0.1056)\)：
\(P(Y \ge 1) = 1 - (1 - 0.1056)^5 \approx 0.428\)。
這題結合了常態分配與二項分配，是 Paper 2 常見題型。