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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

近似、誤差與科學記號

近似、誤差與科學記號是處理真實數據的基本功：真實世界的測量都有誤差，非常大或非常小的數字需要簡潔的寫法。IB Math AI 的每一份考卷都要求你依規定的精確度作答，所以這一頁的觀念會在所有單元反覆用到。本頁屬於 SL 與 HL 共同內容（課綱 1.1、1.6）。

什麼是科學記號？

科學記號（scientific notation，也叫標準式 standard form）把數字寫成

\[ a \times 10^{k}, \quad 1 \le a < 10, \quad k \in \mathbb{Z} \]

例如地球到太陽的距離約 \(149\,600\,000\) km，寫成 \(1.496 \times 10^{8}\) km；一個細菌長約 \(0.000\,002\) m，寫成 \(2 \times 10^{-6}\) m。

計算時可以把係數與 10 的次方分開處理：

\[ (3 \times 10^{5}) \times (4 \times 10^{-2}) = 12 \times 10^{3} = 1.2 \times 10^{4} \]

注意最後要把 \(12\) 調整成 \(1 \le a < 10\) 的形式。

GDC 小技巧

TI-84 把 MODE 設成 SCI 可以讓答案直接以科學記號顯示；輸入時用 2nd + ,（EE 鍵）代表「×10^」。

有效數字與四捨五入

有效數字（significant figures, s.f.）是從第一個非零數字開始算的位數。

數字 有效數字位數 說明
4 506 4 中間的 0 算
0.00320 3 前面的 0 不算，尾端的 0 算
12 000 2～5 尾端的 0 是否有效要看情境，IB 通常視為 2 位

IB 的作答慣例：

  • 題目沒有指定時，最終答案寫成準確值或三位有效數字。
  • 角度通常寫到一位小數，金額依題目要求（常為兩位小數）。
  • 中間過程不要四捨五入，用 GDC 的完整數值繼續計算，否則最終答案可能失分。

上界與下界

測量值經過四捨五入後，真正的值落在一個範圍內。若長度量得 \(12\) cm（四捨五入到整數），真正的長度 \(L\) 滿足

\[ 11.5 \le L < 12.5 \]

\(11.5\) 稱為下界（lower bound），\(12.5\) 稱為上界（upper bound）。計算面積或速度的可能範圍時：

  • 最大的和：上界 + 上界；最小的差：下界 − 上界。
  • 最大的商：上界 ÷ 下界；最小的商：下界 ÷ 上界。

百分比誤差

百分比誤差（percentage error）衡量近似值 \(v_A\) 與真實值 \(v_E\) 差多少：

\[ \varepsilon = \left| \frac{v_A - v_E}{v_E} \right| \times 100\% \]

分母是真實值（exact value），這是最常寫錯的地方。

例題

小明估計教室長 \(9\) m，實際長 \(8.4\) m。百分比誤差為

\[ \varepsilon = \left| \frac{9 - 8.4}{8.4} \right| \times 100\% = 7.14\%\ (3\text{ s.f.}) \]

推薦影音

百分比誤差

簡述：Revision Village 說明百分比誤差公式與常見陷阱（分母要放真實值），並示範考題，對應本頁「百分比誤差」一節。

科學記號快速上手

簡述：TUTORIO 用幾分鐘示範一般數字與科學記號的互換，適合需要快速複習的同學。

練習題

練習 1

計算 \(\dfrac{(6.4 \times 10^{7})}{(1.6 \times 10^{-3})}\)，答案寫成科學記號。

參考解答

\(\dfrac{6.4}{1.6} \times 10^{7-(-3)} = 4 \times 10^{10}\)

練習 2

一個正方形邊長量得 \(6.2\) cm（四捨五入到一位小數）。求面積的上界與下界。

參考解答

邊長範圍：\(6.15 \le s < 6.25\)。

  • 面積下界 \(= 6.15^2 = 37.8225 \approx 37.8\ \text{cm}^2\)
  • 面積上界 \(= 6.25^2 = 39.0625 \approx 39.1\ \text{cm}^2\)

練習 3

某城市人口真實值為 \(2\,456\,000\)。新聞報導寫「約 250 萬人」。

(a) 把真實值寫成三位有效數字的科學記號。 (b) 求新聞報導的百分比誤差。

參考解答

(a) \(2.46 \times 10^{6}\)

(b) \(\varepsilon = \left| \dfrac{2\,500\,000 - 2\,456\,000}{2\,456\,000} \right| \times 100\% = \dfrac{44\,000}{2\,456\,000} \times 100\% \approx 1.79\%\)

練習 4

一輛車在 \(2.5\) 小時內行駛 \(180\) km，兩個數字都四捨五入到題目所示的精確度（時間到 0.1 小時、距離到 10 km）。求平均速率的最大可能值。

參考解答

距離範圍 \(175 \le d < 185\)；時間範圍 \(2.45 \le t < 2.55\)。

最大速率 \(= \dfrac{\text{距離上界}}{\text{時間下界}} = \dfrac{185}{2.45} \approx 75.5\) km/h。