相關與迴歸
相關（correlation）衡量兩個變數「一起變化」的程度，迴歸（regression）則找出一條描述兩者關係的直線或曲線，用來預測。例如：讀書時數越多，考試分數是否越高？每多讀一小時大約多幾分？本頁涵蓋 SL 與 HL 共同的 Pearson 相關係數、迴歸直線與 Spearman 等級相關（課綱 4.4、4.10），以及 HL 的非線性迴歸與決定係數 \(R^2\)（AHL 4.13）。
散佈圖與相關的方向
把成對資料 \((x, y)\) 畫在座標平面上就是散佈圖（scatter diagram）。觀察三件事：
- 方向：正相關（\(x\) 大 \(y\) 也大）或負相關。
- 強度：點是否緊密地落在一條線附近。
- 形狀：線性或非線性；有沒有離群值。
目測最適直線一定要通過平均點 \((\bar{x}, \bar{y})\)。
相關不等於因果
兩個變數高度相關，不代表一個造成另一個。冰淇淋銷量與溺水人數正相關，是因為兩者都受「天氣熱」影響。
Pearson 相關係數 \(r\)
Pearson 積差相關係數（product-moment correlation coefficient）\(r\) 衡量線性關係的強度，\(-1 \le r \le 1\)：
| \(\lvert r \rvert\) 範圍 | 解讀 |
|---|---|
| \(0.75 \le \lvert r \rvert \le 1\) | 強相關 |
| \(0.5 \le \lvert r \rvert < 0.75\) | 中度相關 |
| \(0.25 \le \lvert r \rvert < 0.5\) | 弱相關 |
| \(\lvert r \rvert < 0.25\) | 幾乎無線性相關 |
\(r\) 用 GDC 的 LinReg 計算（TI-84 要先開啟 DiagnosticOn 才會顯示 \(r\)）。
迴歸直線
\(y\) 對 \(x\) 的最小平方迴歸直線（least squares regression line）\(y = ax + b\)，用 GDC 的 LinReg(ax+b) 求出。
- 斜率 \(a\) 的意義：\(x\) 每增加 1 單位，\(y\) 平均增加 \(a\) 單位。
- 用迴歸直線預測：只在 \(|r|\) 夠大、且 \(x\) 在資料範圍內（內插，interpolation）時才可靠；資料範圍外的預測（外插，extrapolation）不可靠。
- 方向不能反過來：\(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線只能用 \(x\) 預測 \(y\)。要用 \(y\) 預測 \(x\)，需另外求 \(x\) 對 \(y\) 的迴歸直線。
Spearman 等級相關係數 \(r_s\)
Spearman 等級相關係數（Spearman's rank correlation coefficient）先把兩個變數各自排名，再對排名計算 Pearson 相關係數。它衡量的是單調關係（一個變大另一個也一直變大或變小），不要求是直線。
- 適用：資料本身就是排名（例如評審名次）、關係非線性但單調、或有離群值。
- 相同數值取平均名次，例如並列第 2、3 名都記 \(2.5\)。
- 沒有並列時可用 \(r_s = 1 - \dfrac{6\sum d^2}{n(n^2 - 1)}\) 驗算，\(d\) 為兩個名次之差。
非線性迴歸與決定係數
當散佈圖呈現曲線時，可以用 GDC 擬合非線性模型：二次（QuadReg）、三次（CubicReg）、指數（ExpReg）、冪次（PwrReg）、正弦（SinReg）。
殘差平方和（sum of square residuals, \(SS_{res}\)）：每個資料點與模型預測值之差（殘差）的平方總和。最小平方法就是找讓 \(SS_{res}\) 最小的參數。
決定係數 \(R^2\)（coefficient of determination）：模型能解釋 \(y\) 變異的比例，\(0 \le R^2 \le 1\)，越接近 1 越好。比較不同模型時，\(R^2\) 較大者通常擬合較好，但也要考慮模型在情境中是否合理。對線性模型而言，\(R^2 = r^2\)。
推薦影音
Pearson 與 Spearman 相關係數
簡述：Revision Village 比較兩種相關係數的計算與適用時機，並示範 GDC 操作與解讀，對應本頁前半部。
迴歸直線與可靠度
簡述：Revision Village 講解迴歸直線方程式的求法、何時預測可靠（內插與外插），對應本頁「迴歸直線」。
練習題
練習 1
6 位同學的讀書時數 \(x\) 與考試分數 \(y\)：
| \(x\)（小時） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\)（分） | 52 | 55 | 61 | 64 | 70 | 74 |
(a) 求 Pearson 相關係數 \(r\) 並解讀。 (b) 求 \(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線。 (c) 預測讀書 \(4.5\) 小時的分數，並說明此預測是否可靠。 (d) 解釋斜率在情境中的意義。
參考解答
(a) GDC 得 \(r \approx 0.996\)，強烈正線性相關。
(b) \(y \approx 4.51x + 46.9\)。
(c) \(y \approx 4.51(4.5) + 46.9 \approx 67.2\) 分。可靠，因為 \(r\) 很接近 1，且 \(4.5\) 在資料範圍 \(1 \sim 6\) 之內（內插）。
(d) 每多讀 1 小時，分數平均約增加 \(4.51\) 分。
練習 2
用練習 1 的迴歸直線預測讀書 \(20\) 小時的分數，這個預測有什麼問題？
參考解答
\(4.51(20) + 46.9 \approx 137\) 分，超過滿分 100。\(20\) 小時遠在資料範圍外（外插），線性關係不一定持續成立，所以預測不可靠。
練習 3
兩位評審為 6 件作品評分：
| 作品 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 評審甲 | 7 | 4 | 9 | 2 | 6 | 8 |
| 評審乙 | 65 | 50 | 80 | 45 | 70 | 60 |
求 Spearman 等級相關係數並解讀。
參考解答
由小到大排名：
| 作品 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲名次 | 4 | 2 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 乙名次 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 |
| \(d^2\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 4 |
\(r_s = 1 - \dfrac{6 \times 8}{6 \times 35} \approx 0.771\)。兩位評審的排名有強烈的正相關，看法大致一致。
練習 4
資料點 \((1, 2)\)、\((2, 3)\)、\((3, 5)\) 的迴歸直線為 \(y = 1.5x + \frac{1}{3}\)。求殘差平方和 \(SS_{res}\)。
參考解答
預測值：\(1.833\)、\(3.333\)、\(4.833\)；殘差：\(0.167\)、\(-0.333\)、\(0.167\)。
\(SS_{res} = 0.167^2 + 0.333^2 + 0.167^2 \approx 0.167\)。
練習 5
某組資料以線性模型擬合得 \(R^2 = 0.89\)，以指數模型擬合得 \(R^2 = 0.97\)。應選哪個模型？還需要考慮什麼？
參考解答
指數模型的 \(R^2\) 較大，能解釋 97% 的變異，擬合較好。但仍要檢查模型在情境中是否合理（例如是否會無限成長）、殘差是否沒有明顯規律，以及預測是否在資料範圍內。