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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

向量

向量（vector）是同時具有大小與方向的量，例如位移、速度與力。在 IB Math AI HL 中，向量用來描述直線、計算空間中的夾角與面積，並以「起點 + 時間 × 速度」的方式建立物體運動的模型（運動學）。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 3.10～3.13）。

HL 限定單元

本頁全部內容只屬於 HL。SL 學生的幾何內容請看 三角學與立體幾何 與 Voronoi 圖。

向量的表示與基本運算

三維向量可以寫成行向量或用單位向量 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 表示：

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k} \]
  • 大小（magnitude）：\(|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)
  • 單位向量（unit vector）：\(\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\)，長度為 1、方向與 \(\mathbf{v}\) 相同。
  • 位置向量（position vector）：從原點指向點 \(A\) 的向量 \(\overrightarrow{OA}\)。
  • 兩點之間的向量：\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)。
  • 平行：\(\mathbf{a} = k\mathbf{b}\)，\(k\) 為非零純量。

直線的向量方程式

通過點 \(A\)（位置向量 \(\mathbf{a}\)）、方向為 \(\mathbf{b}\) 的直線：

\[ \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \]

展開成各分量就是參數式（parametric form），例如 \(x = 1 + 2\lambda\)、\(y = 2 - \lambda\)、\(z = 3 + \lambda\)。判斷某點是否在直線上：看是否存在同一個 \(\lambda\) 讓三個分量都成立。

向量與運動學

物體以等速度 \(\mathbf{v}\) 運動，起始位置為 \(\mathbf{r}_0\)，則 \(t\) 時刻的位置為

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v} \]
  • 速率（speed）\(= |\mathbf{v}|\)，速度（velocity）是向量、速率是純量。
  • 最近距離（closest approach）：寫出兩物體（或物體與定點）距離的平方 \(d^2(t)\)，再用 GDC 求最小值，或令 \(d^2\) 的導數為 0。
  • 兩物體相撞：存在同一個 \(t\) 使兩者位置相同。

速度不固定時（例如拋射運動），位置向量的各分量是 \(t\) 的函數，可對 \(t\) 微分得速度、再微分得加速度，詳見 進階微積分（HL）。

內積（純量積）

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta \]

用途：

  • 求兩向量夾角：\(\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\)
  • 判斷垂直：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)
  • 求分量：\(\mathbf{a}\) 在 \(\mathbf{b}\) 方向上的分量 \(= \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}\)

外積（向量積）

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}, \qquad |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta \]
  • 結果是一個同時垂直 \(\mathbf{a}\) 與 \(\mathbf{b}\) 的向量。
  • 平行四邊形面積 \(= |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|\)；三角形面積 \(= \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|\)。

推薦影音

內積與兩向量夾角

簡述：Revision Village 講解內積的兩種算法、用內積求夾角與判斷垂直，對應本頁「內積」。

外積

簡述：Revision Village 示範外積的計算方式與幾何意義，並用外積求面積，對應本頁「外積」。

練習題

練習 1

\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\)。求 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)、\(|\mathbf{a}|\)、\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\)，以及兩向量的夾角。

參考解答
  • \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
  • \(|\mathbf{a}| = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \approx 3.74\)
  • \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 - 4 - 4 = -5\)
  • \(\cos\theta = \dfrac{-5}{\sqrt{14}\sqrt{21}} \approx -0.292\)，\(\theta \approx 107°\)

練習 2

用練習 1 的向量，求 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)，以及以 \(\mathbf{a}\)、\(\mathbf{b}\) 為兩邊的三角形面積。

參考解答
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} (-1)(-2) - (2)(4) \\ (2)(1) - (3)(-2) \\ (3)(4) - (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 13 \end{pmatrix} \]

三角形面積 \(= \dfrac{1}{2}\sqrt{36 + 64 + 169} = \dfrac{1}{2}\sqrt{269} \approx 8.20\)。

練習 3

直線 \(L\) 通過 \((1, 2, 3)\)，方向為 \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。寫出 \(L\) 的向量方程式，並判斷點 \((7, -1, 6)\) 是否在 \(L\) 上。

參考解答

\(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

\(x\)：\(1 + 2\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = 3\)；\(y\)：\(2 - 3 = -1\) ✓；\(z\)：\(3 + 3 = 6\) ✓。三個分量用同一個 \(\lambda = 3\)，所以點在 \(L\) 上。

練習 4

求 \(k\) 使 \(\begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 3 \end{pmatrix}\) 與 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 垂直。

參考解答

\(2 + 4k - 6 = 0 \Rightarrow k = 1\)。

練習 5

一艘船在 \(t = 0\) 時位於 \((2, 5)\)（單位 km），以速度 \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) km/h 等速航行。燈塔位於 \((10, 6)\)。

(a) 寫出船在 \(t\) 小時後的位置向量，並求船速。 (b) 求船與燈塔的最近距離與發生時間。

參考解答

(a) \(\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 + 3t \\ 5 - t \end{pmatrix}\)；速率 \(= \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16\) km/h。

(b) 船到燈塔的向量 \(= \begin{pmatrix} 3t - 8 \\ -1 - t \end{pmatrix}\)，

\[ d^2 = (3t - 8)^2 + (t + 1)^2 = 10t^2 - 46t + 65 \]

最小值在 \(t = \dfrac{46}{20} = 2.3\) 小時，\(d = \sqrt{12.1} \approx 3.48\) km。