假設檢定
假設檢定（hypothesis testing）用樣本資料判斷一個關於母體的說法是否可信，例如「性別與運動偏好有關嗎？」「這顆骰子公平嗎？」「新教學法真的讓成績變好了嗎？」。IB Math AI SL 與 HL 共同學習三種檢定：卡方獨立性檢定、卡方適合度檢定與 t 檢定（課綱 4.11）。HL 的臨界區域、比例檢定與型一型二錯誤請見 統計推論與 Markov 鏈（HL）。
假設檢定的共同步驟
每一種檢定都依照同樣的五個步驟作答：
- 寫出假設：虛無假設 \(H_0\)（沒有差異、沒有關係、符合分配）與對立假設 \(H_1\)。
- 確認顯著水準：題目給的 \(\alpha\)，常見為 \(5\%\) 或 \(1\%\)。
- 計算檢定統計量與 \(p\) 值：用 GDC。
- 做決策：\(p < \alpha\) 時拒絕 \(H_0\)；\(p \ge \alpha\) 時不拒絕 \(H_0\)。也可以比較檢定統計量與臨界值（critical value）。
- 用情境語言下結論。
結論的寫法
不拒絕 \(H_0\) 不等於「證明 \(H_0\) 為真」，只能說「沒有足夠證據顯示 …」。結論一定要回到題目情境，例如「在 5% 顯著水準下，沒有足夠證據顯示性別與運動偏好有關」。
\(p\) 值的意義：假設 \(H_0\) 為真時，得到「至少和觀察結果一樣極端」資料的機率。\(p\) 值越小，代表觀察結果在 \(H_0\) 之下越不尋常。
卡方獨立性檢定
用途：判斷兩個類別變數是否獨立，資料是雙向列聯表（contingency table）。
- \(H_0\)：兩變數獨立；\(H_1\)：兩變數不獨立。
- 期望次數：\(E = \dfrac{\text{列總和} \times \text{行總和}}{\text{總數}}\)
- 自由度：\(df = (\text{列數} - 1)(\text{行數} - 1)\)
- 檢定統計量：\(\chi^2_{calc} = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}\)
每個期望次數都要至少 5；若有格子小於 5，要先把相鄰的列或行合併，自由度也跟著改變。
GDC：TI-84 把觀察次數輸入矩陣 [A]，執行 STAT → TESTS → χ²-Test，期望次數會存在 [B]。
卡方適合度檢定
用途：判斷觀察到的次數是否符合某個預期的分配，例如骰子是否公平、顧客人數是否平均分布在一週七天。
- \(H_0\)：資料符合該分配；\(H_1\)：資料不符合該分配。
- 自由度：\(df = \text{類別數} - 1\)（SL 的範圍）。
- GDC：觀察次數放 L1、期望次數放 L2，執行
χ²GOF-Test。
t 檢定
用途：比較兩個母體的平均數是否有差異，資料是兩組數值樣本。IB 假設兩母體都是常態分配，並使用合併（pooled）變異數。
- \(H_0\)：\(\mu_1 = \mu_2\)
- \(H_1\)：\(\mu_1 \ne \mu_2\)（雙尾，two-tailed），或 \(\mu_1 > \mu_2\)、\(\mu_1 < \mu_2\)（單尾，one-tailed）
- GDC：
STAT → TESTS → 2-SampTTest，Pooled 選 Yes。
單尾或雙尾由題目用詞決定：「是否不同」用雙尾；「是否較高／較低」用單尾。
推薦影音
假設檢定概論
簡述：Revision Village 介紹虛無與對立假設、顯著水準、\(p\) 值與臨界值的意義，是學習所有檢定之前的基礎。
卡方獨立性檢定（考題解析）
簡述：MLPB Mathematics 解析 2025 年 11 月 Paper 的卡方獨立性檢定題，示範期望次數、自由度與結論寫法。
卡方適合度檢定（考題解析）
簡述：MLPB Mathematics 解析 2021 年 5 月 Paper 1 的適合度檢定題，示範如何計算期望次數並判斷資料是否符合分配。
練習題
練習 1
調查 100 位學生的性別與最喜歡的運動：
| 足球 | 籃球 | 網球 | 合計 | |
|---|---|---|---|---|
| 男 | 30 | 20 | 10 | 60 |
| 女 | 15 | 15 | 10 | 40 |
| 合計 | 45 | 35 | 20 | 100 |
在 5% 顯著水準下，檢定性別與運動偏好是否獨立。（\(df = 2\) 的臨界值為 \(5.991\)）
參考解答
\(H_0\)：性別與運動偏好獨立；\(H_1\)：不獨立。
期望次數：男 \(27, 21, 12\)；女 \(18, 14, 8\)（全部 \(\ge 5\)）。
\(df = (2 - 1)(3 - 1) = 2\)。GDC 得 \(\chi^2_{calc} \approx 1.79\)，\(p \approx 0.409\)。
\(p = 0.409 > 0.05\)（或 \(1.79 < 5.991\)），不拒絕 \(H_0\)。在 5% 顯著水準下，沒有足夠證據顯示性別與運動偏好有關。
練習 2
一顆骰子擲 60 次，結果如下。在 5% 顯著水準下，檢定骰子是否公平。
| 點數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 次數 | 8 | 12 | 9 | 11 | 6 | 14 |
參考解答
\(H_0\)：骰子公平（每個點數機率 \(\frac{1}{6}\)）；\(H_1\)：骰子不公平。
每格期望次數 \(= 10\)，\(df = 6 - 1 = 5\)。
\(\chi^2_{calc} = \dfrac{4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16}{10} = 4.2\)，\(p \approx 0.521\)。
\(p > 0.05\)，不拒絕 \(H_0\)。沒有足夠證據顯示骰子不公平。
練習 3
老師想知道 A 班的平均成績是否高於 B 班。兩班各隨機抽 6 位學生：
- A 班：72、75、68、80、77、74
- B 班：65、70、72、66、69、71
假設成績服從常態分配且變異數相同，在 5% 顯著水準下進行檢定。
參考解答
\(H_0\)：\(\mu_A = \mu_B\)；\(H_1\)：\(\mu_A > \mu_B\)（單尾）。
GDC 2-SampTTest（Pooled: Yes，\(\mu_1 > \mu_2\)）：\(\bar{x}_A \approx 74.3\)、\(\bar{x}_B \approx 68.8\)、\(t \approx 2.70\)、\(p \approx 0.0111\)。
\(p = 0.0111 < 0.05\)，拒絕 \(H_0\)。在 5% 顯著水準下，有足夠證據顯示 A 班的平均成績高於 B 班。
練習 4
在練習 1 中，若「女生、網球」的期望次數只有 3，應該怎麼處理？
參考解答
卡方檢定要求每個期望次數至少 5。應把「網球」與另一個相近的類別（例如籃球）合併成一行，重新計算期望次數；此時表格變成 \(2 \times 2\)，自由度變為 \(1\)。