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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

統計推論與 Markov 鏈

統計推論（statistical inference）是用樣本資訊推估母體：母體平均數大概落在哪個範圍？檢定的結論有多大機率出錯？HL 也學習描述「單位時間內事件發生次數」的 Poisson 分配，以及用轉移矩陣預測系統長期狀態的 Markov 鏈。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 4.14～4.19）。

HL 限定單元

本頁全部內容只屬於 HL。SL 學生的檢定內容請看 假設檢定。

隨機變數的線性組合

對任意隨機變數 \(X\) 與常數 \(a, b\)：

\[ E(aX + b) = aE(X) + b, \qquad \text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X) \]

若 \(X\)、\(Y\) 獨立：

\[ E(aX \pm bY) = aE(X) \pm bE(Y), \qquad \text{Var}(aX \pm bY) = a^2\,\text{Var}(X) + b^2\,\text{Var}(Y) \]

注意變異數永遠相加，即使是相減。獨立常態變數的線性組合仍是常態分配。

\(2X\) 與 \(X_1 + X_2\) 不同

「一顆蘋果重量的兩倍」是 \(2X\)，變異數 \(4\,\text{Var}(X)\)；「兩顆蘋果的總重」是 \(X_1 + X_2\)，變異數 \(2\,\text{Var}(X)\)。

母體參數的不偏估計

樣本平均數 \(\bar{x}\) 是母體平均數 \(\mu\) 的不偏估計。母體變異數的不偏估計要除以 \(n - 1\)：

\[ s_{n-1}^2 = \frac{n}{n - 1}s_n^2 \]

GDC 的 1-Var Stats 中，\(S_x\) 就是 \(s_{n-1}\)，\(\sigma_x\) 是 \(s_n\)。

中央極限定理

中央極限定理（central limit theorem, CLT）：從平均數 \(\mu\)、變異數 \(\sigma^2\) 的任意母體抽取大小 \(n\) 的樣本，當 \(n\) 夠大（通常 \(n \ge 30\)）時，樣本平均數近似常態分配：

\[ \bar{X} \sim N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]

若母體本身就是常態分配，則不論 \(n\) 大小都成立。\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) 稱為標準誤（standard error）：樣本越大，樣本平均數越集中。

信賴區間

母體平均數 \(\mu\) 的信賴區間（confidence interval）：

  • \(\sigma\) 已知：\(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)，GDC 用 ZInterval。
  • \(\sigma\) 未知：\(\bar{x} \pm t \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}\)，\(df = n - 1\)，GDC 用 TInterval。

95% 信賴區間的意義：如果重複抽樣很多次、每次都建立一個區間，約 95% 的區間會包含真正的 \(\mu\)。它不是「\(\mu\) 有 95% 機率在這個區間裡」。

Poisson 分配

\(X \sim Po(m)\) 描述固定時間或空間內，事件發生次數的分配，例如每小時的來電數、每頁的錯字數。條件：事件隨機、獨立發生，且平均發生率固定。

\[ P(X = x) = \frac{m^x e^{-m}}{x!}, \qquad E(X) = \text{Var}(X) = m \]
  • 時間區間改變時，\(m\) 依比例調整：每小時平均 4 次，兩小時就是 \(Po(8)\)。
  • 獨立 Poisson 變數相加仍是 Poisson：\(X + Y \sim Po(m_1 + m_2)\)。
  • 樣本的平均數與變異數接近時，Poisson 是合理模型。
  • GDC：poissonpdf(m, x)、poissoncdf(m, x)。

臨界區域與型一、型二錯誤

臨界區域（critical region）：會導致拒絕 \(H_0\) 的檢定統計量範圍。HL 會考以下檢定：

  • 常態母體平均數的 \(z\) 或 \(t\) 檢定（含成對樣本 t 檢定）。
  • 以二項分配檢定比例 \(p\)。
  • 以 Poisson 分配檢定平均數 \(m\)。
  • 以 GDC 檢定母體相關係數 \(\rho = 0\)。
\(H_0\) 為真 \(H_0\) 為假
拒絕 \(H_0\) 型一錯誤（Type I error） 正確
不拒絕 \(H_0\) 正確 型二錯誤（Type II error）
  • \(P(\text{型一錯誤}) = P(\text{落在臨界區域} \mid H_0 \text{ 為真})\)。連續分配時等於顯著水準 \(\alpha\)；離散分配時通常小於 \(\alpha\)。
  • \(P(\text{型二錯誤}) = P(\text{不落在臨界區域} \mid H_1 \text{ 的某個特定值})\)。

Markov 鏈

Markov 鏈（Markov chain）描述系統在幾個狀態之間轉移，且「下一步只取決於目前狀態」。例如天氣（晴、雨）、品牌忠誠度、手機方案轉換。

  • 轉移矩陣 \(T\)：第 \(j\) 行第 \(i\) 列 \(=\) 從狀態 \(j\) 轉移到狀態 \(i\) 的機率，每一行總和為 1。
  • 狀態向量：\(\mathbf{s}_n = T^n\mathbf{s}_0\)。
  • 穩定狀態（steady state）\(\mathbf{s}\) 滿足 \(T\mathbf{s} = \mathbf{s}\)，且各分量總和為 1。它是特徵值 \(\lambda = 1\) 的特徵向量，也可以用 GDC 計算很大的 \(T^n\) 觀察。

Markov 鏈結合了 矩陣與特徵值（HL） 的工具。

推薦影音

Poisson 分配

簡述：Revision Village 介紹 Poisson 分配的條件、公式與 GDC 計算，並示範時間區間改變時如何調整平均數。

估計與信賴區間

簡述：Revision Village 講解不偏估計、\(z\) 與 \(t\) 信賴區間的建立與解讀，對應本頁「信賴區間」。

中央極限定理的觀念

簡述：IBvodcasting 用抽樣分配模擬說明中央極限定理：樣本變大時，樣本平均數為何會趨近常態分配。

轉移矩陣與 Markov 鏈

簡述：Revision Village 示範建立轉移矩陣、計算 \(n\) 步後的狀態與穩定狀態，對應本頁「Markov 鏈」。

練習題

練習 1

\(E(X) = 10\)、\(\text{Var}(X) = 4\)。求 \(E(3X - 2)\) 與 \(\text{Var}(3X - 2)\)。

參考解答

\(E(3X - 2) = 28\)；\(\text{Var}(3X - 2) = 9 \times 4 = 36\)。

練習 2

蘋果重量 \(A \sim N(150, 10^2)\)（g），空箱重量 \(B \sim N(200, 15^2)\)（g），彼此獨立。一箱裝 6 顆蘋果，求整箱重量超過 \(1150\) g 的機率。

參考解答

\(W = A_1 + \cdots + A_6 + B\)。

\(E(W) = 6(150) + 200 = 1100\)；\(\text{Var}(W) = 6(100) + 225 = 825\)，\(\sigma_W \approx 28.7\)。

$P(W > 1150) = $ normalcdf(1150, 1E99, 1100, 28.72) \(\approx 0.0409\)。

練習 3

客服中心每小時平均接到 4 通電話，服從 Poisson 分配。

(a) 某小時恰好接到 2 通的機率？ (b) 某小時至少接到 3 通的機率？ (c) 兩小時內少於 5 通的機率？

參考解答

(a) \(P(X = 2) = \dfrac{4^2e^{-4}}{2!} \approx 0.147\)

(b) \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - 13e^{-4} \approx 0.762\)

(c) \(Y \sim Po(8)\)，$P(Y < 5) = P(Y \le 4) = $ poissoncdf(8, 4) \(\approx 0.0996\)

練習 4

從 25 個樣本得到 \(\bar{x} = 52.3\)、\(s_{n-1} = 4.5\)。求母體平均數的 95% 信賴區間（母體為常態分配）。

參考解答

\(\sigma\) 未知，用 \(t\) 分配，\(df = 24\)，\(t \approx 2.064\)。

\(52.3 \pm 2.064 \times \dfrac{4.5}{\sqrt{25}} = 52.3 \pm 1.86\)，區間約為 \((50.4,\ 54.2)\)。

練習 5

某母體 \(\mu = 80\)、\(\sigma = 12\)（分配未知）。抽取 36 個樣本，求樣本平均數大於 83 的機率。

參考解答

\(n = 36\) 夠大，依中央極限定理 \(\bar{X} \sim N\!\left(80, \dfrac{144}{36}\right) = N(80, 2^2)\)。

\(P(\bar{X} > 83) = P(Z > 1.5) \approx 0.0668\)。

練習 6

檢定硬幣是否偏向正面：\(H_0: p = 0.5\)、\(H_1: p > 0.5\)。擲 20 次，若正面次數 \(X \ge 15\) 就拒絕 \(H_0\)。

(a) 求型一錯誤的機率。 (b) 若實際上 \(p = 0.7\)，求型二錯誤的機率。

參考解答

(a) $P(X \ge 15 \mid p = 0.5) = 1 - $ binomcdf(20, 0.5, 14) \(\approx 0.0207\)

(b) $P(X \le 14 \mid p = 0.7) = $ binomcdf(20, 0.7, 14) \(\approx 0.584\)

練習 7

晴天後隔天仍是晴天的機率 \(0.8\)；雨天後隔天轉晴的機率 \(0.4\)。

(a) 寫出轉移矩陣 \(T\)（狀態順序：晴、雨）。 (b) 今天晴天，求兩天後是晴天的機率。 (c) 求長期穩定狀態。

參考解答

(a) \(T = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}\)（每一行總和為 1）

(b) \(T^2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.72 \\ 0.28 \end{pmatrix}\)，兩天後晴天機率 \(0.72\)。

(c) 解 \(T\mathbf{s} = \mathbf{s}\)、\(s_1 + s_2 = 1\)：\(0.2s_1 = 0.4s_2 \Rightarrow s_1 = 2s_2\)，得 \(\mathbf{s} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}\)。長期約 \(66.7\%\) 的日子是晴天。