函數變換與線性化
函數變換與線性化是 IB Math AI HL 的進階函數工具：合成與反函數讓你把多個步驟串成一個函數；平移、伸縮、鏡射讓你從基本圖形推出新圖形；對數線性化則把指數或冪次資料「拉直」，再用直線迴歸求出模型參數。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 2.7、2.8、2.10）。
HL 限定單元
本頁全部內容只屬於 HL。SL 學生只需要 直線與函數基礎 裡的反函數概念。
合成函數與反函數
合成函數（composite function）\((f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)\)：先做 \(g\)，再把結果丟進 \(f\)。一般來說 \(f \circ g \ne g \circ f\)。
求反函數的步驟：
- 寫成 \(y = f(x)\)。
- 交換 \(x\) 與 \(y\)。
- 解出 \(y\)，即為 \(f^{-1}(x)\)。
反函數的定義域是原函數的值域。若原函數不是一對一（例如 \(y = x^2\)），要先限制定義域（例如 \(x \ge 0\)）才有反函數。並且 \((f \circ f^{-1})(x) = x\)。
圖形變換
從 \(y = f(x)\) 出發：
| 變換 | 新函數 | 效果 |
|---|---|---|
| 垂直平移 | \(y = f(x) + b\) | 往上移 \(b\) |
| 水平平移 | \(y = f(x - a)\) | 往右移 \(a\)（注意是減號） |
| 垂直伸縮 | \(y = p\,f(x)\) | \(y\) 座標乘 \(p\) |
| 水平伸縮 | \(y = f(qx)\) | \(x\) 座標乘 \(\dfrac{1}{q}\) |
| 對 \(x\) 軸鏡射 | \(y = -f(x)\) | 上下翻轉 |
| 對 \(y\) 軸鏡射 | \(y = f(-x)\) | 左右翻轉 |
平移常用平移向量 \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) 表示：\(y = f(x - a) + b\)。
順序會影響結果
「先平移再伸縮」與「先伸縮再平移」通常得到不同的函數。依題目敘述的順序，一步步把變換套在整個函數上。
對數線性化
真實資料常常不是直線，但取對數後可能變成直線，就能用線性迴歸找參數。
半對數圖：指數模型
若 \(y = ab^x\)，兩邊取 \(\log\)：
畫 \(\log y\) 對 \(x\) 的圖會是直線，斜率 \(= \log b\)、截距 \(= \log a\)。
全對數圖：冪次模型
若 \(y = ax^n\)，兩邊取 \(\log\)：
畫 \(\log y\) 對 \(\log x\) 的圖會是直線，斜率 \(= n\)、截距 \(= \log a\)。
怎麼判斷該用哪一種？
把資料分別畫成 \((x, \log y)\) 與 \((\log x, \log y)\)，哪一張比較接近直線（相關係數 \(|r|\) 比較接近 1），就用哪一種模型。
用對數縮放尺度
數值跨越很多個數量級時（例如地震能量、聲音強度、行星距離），用對數尺度作圖能讓資料清楚呈現。芮氏規模、分貝、pH 值都是對數尺度。
推薦影音
定義域、合成函數與反函數
簡述：Revision Village 講解定義域與值域、合成函數的計算順序，以及如何求反函數與限制定義域。
函數的圖形變換
簡述：Revision Village 示範平移、伸縮與鏡射對圖形的影響，以及多個變換合成時的順序問題，對應本頁「圖形變換」。
練習題
練習 1
\(f(x) = 2x + 1\)、\(g(x) = x^2\)。求 \((f \circ g)(x)\)、\((g \circ f)(x)\) 與 \((f \circ g)(3)\)。
參考解答
- \((f \circ g)(x) = 2x^2 + 1\)
- \((g \circ f)(x) = (2x + 1)^2\)
- \((f \circ g)(3) = 2(9) + 1 = 19\)
練習 2
求 \(f(x) = \dfrac{3x - 2}{5}\) 的反函數。
參考解答
\(y = \dfrac{3x - 2}{5}\)，交換 \(x\)、\(y\)：\(x = \dfrac{3y - 2}{5} \Rightarrow 5x = 3y - 2 \Rightarrow y = \dfrac{5x + 2}{3}\)。
\(f^{-1}(x) = \dfrac{5x + 2}{3}\)。
練習 3
\(y = x^2\) 先經過平移向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)，再做垂直伸縮倍率 \(2\)。寫出新函數。
參考解答
平移後 \(y = (x - 3)^2 - 2\)；再把整個函數乘 2：\(y = 2(x - 3)^2 - 4\)。
練習 4
某資料取 \(\log_{10} y\) 對 \(x\) 作迴歸，得 \(\log_{10} y = 0.301x + 0.699\)。求 \(y = ab^x\) 中的 \(a\) 與 \(b\)。
參考解答
\(\log a = 0.699 \Rightarrow a = 10^{0.699} \approx 5.00\)；\(\log b = 0.301 \Rightarrow b = 10^{0.301} \approx 2.00\)。
模型為 \(y \approx 5 \times 2^x\)。
練習 5
某資料取自然對數後得 \(\ln y = 1.5\ln x + 0.693\)。寫出 \(y\) 與 \(x\) 的關係式。
參考解答
這是全對數直線，冪次模型 \(y = ax^n\)：\(n = 1.5\)，\(a = e^{0.693} \approx 2.00\)。
\(y \approx 2x^{1.5}\)。