微分
微分（differentiation）求出函數的導數（derivative），也就是曲線上每一點切線的斜率，代表 \(y\) 相對於 \(x\) 的瞬間變化率。例如位置對時間的導數是速度、成本對產量的導數是邊際成本。IB Math AI 用導數找函數的極大值與極小值，解決最佳化問題。本頁屬於 SL 與 HL 共同內容（課綱 5.1～5.4、5.6、5.7）。
導數的意義
連接曲線上兩點的割線斜率是平均變化率。當第二點無限靠近第一點時，割線變成切線，斜率的極限就是導數：
- \(f'(x) > 0\)：函數在該處遞增（increasing）。
- \(f'(x) < 0\)：函數在該處遞減（decreasing）。
- \(f'(x) = 0\)：駐點（stationary point），切線水平。
\(\dfrac{dy}{dx}\) 的單位是「\(y\) 的單位／\(x\) 的單位」，例如公尺／秒。
冪次法則
SL 只需要對 \(ax^n\)（\(n\) 為整數）微分：
- 常數的導數為 0。
- 和與差可以逐項微分。
- 有分母的項先改寫成負指數：\(\dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}\)，導數為 \(-6x^{-3} = -\dfrac{6}{x^3}\)。
切線與法線
曲線 \(y = f(x)\) 在 \(x = a\) 處：
- 切線（tangent）斜率 \(m = f'(a)\)，方程式 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)。
- 法線（normal）與切線垂直，斜率 \(= -\dfrac{1}{f'(a)}\)。
GDC 可以用 nDeriv 或圖形選單的 \(dy/dx\) 求某一點的導數值。
極值與最佳化
局部極大值與極小值（local maximum / minimum）出現在 \(f'(x) = 0\) 的點。判斷方法：觀察 \(f'(x)\) 在該點兩側的正負號。
| \(f'(x)\) 符號變化 | 駐點類型 |
|---|---|
| \(+ \to 0 \to -\) | 局部極大 |
| \(- \to 0 \to +\) | 局部極小 |
最佳化（optimisation）的步驟：
- 畫圖並設變數。
- 用條件（例如周長固定）把目標量寫成單一變數的函數。
- 求導數並令 \(f'(x) = 0\)，解出 \(x\)。
- 確認是極大還是極小，並檢查答案在合理範圍內（例如長度必須為正）。
- 回答題目真正問的量。
HL 延伸
HL 會用二階導數 \(f''(x)\) 判斷極大極小與反曲點，並對 \(\sin x\)、\(e^x\)、\(\ln x\) 等函數微分，詳見 進階微積分（HL）。
推薦影音
微分總覽
簡述：Revision Village 用圖形介紹導數的概念、極限與切線斜率，適合在開始計算之前建立直覺。
微分基礎
簡述：Revision Village 示範冪次法則與改寫負指數的技巧，對應本頁「冪次法則」。
切線與法線
簡述：Revision Village 講解如何求切線與法線方程式，並示範 GDC 的 \(dy/dx\) 功能。
轉折點與最佳化
簡述：Revision Village 說明如何找極大極小值，以及把應用題轉成最佳化問題，對應本頁「極值與最佳化」。
練習題
練習 1
求下列函數的導數：(a) \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\) (b) \(g(x) = \dfrac{4}{x^2}\)
參考解答
(a) \(f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\)
(b) \(g(x) = 4x^{-2}\)，\(g'(x) = -8x^{-3} = -\dfrac{8}{x^3}\)
練習 2
求曲線 \(y = x^3 - 3x + 2\) 在 \(x = 2\) 處的切線與法線方程式。
參考解答
\(y(2) = 4\)；\(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 3\)，在 \(x = 2\) 時為 \(9\)。
- 切線：\(y - 4 = 9(x - 2)\)，即 \(y = 9x - 14\)
- 法線：\(y - 4 = -\dfrac{1}{9}(x - 2)\)
練習 3
\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)。求所有駐點並判斷類型，以及 \(f\) 遞增的區間。
參考解答
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)，\(x = 1\) 或 \(3\)。
- \(x = 1\)：\(f'\) 由正變負，局部極大 \((1, 5)\)
- \(x = 3\)：\(f'\) 由負變正，局部極小 \((3, 1)\)
遞增區間：\(x < 1\) 或 \(x > 3\)。
練習 4
一張 \(30 \times 30\) cm 的正方形紙板，四角各剪掉邊長 \(x\) cm 的正方形後摺成無蓋盒子。求使體積最大的 \(x\) 與最大體積。
參考解答
\(V(x) = x(30 - 2x)^2\)，\(0 < x < 15\)。
\(V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x) = 0\)，在範圍內 \(x = 5\)。
\(V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\) cm³。（\(x = 15\) 不在範圍內，會使盒子不存在。）
練習 5
農夫用 \(100\) m 的圍欄沿河邊圍一塊長方形地，河邊那一側不需要圍欄。求最大面積。
參考解答
設垂直河岸的兩邊各 \(x\) m，平行河岸的一邊為 \(100 - 2x\) m。
\(A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2\)，\(A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25\)。
最大面積 \(= 25 \times 50 = 1250\) m²。
練習 6
某工廠生產 \(q\) 件產品的成本為 \(C(q) = 0.5q^2 + 2q + 100\) 美元。求 \(C'(10)\) 並解釋其意義。
參考解答
\(C'(q) = q + 2\)，\(C'(10) = 12\) 美元／件。表示產量在 10 件時，每多生產 1 件，成本大約增加 12 美元（邊際成本）。