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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

指數與對數

指數（exponent）描述「重複相乘」，對數（logarithm）則是指數的反運算，回答「要乘幾次才會得到這個數」。在 IB Math AI 中，指數與對數是處理 指數模型、複利與 pH 值、地震規模等真實問題的必要工具。SL 學習指數律與對數的定義（課綱 1.5）；HL 再加上對數律與分數指數（1.9、1.10）。

指數律

對任意底數 \(a, b > 0\) 與整數 \(m, n\)：

規則 公式 例子
同底相乘 \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) \(2^3 \times 2^4 = 2^7\)
同底相除 \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) \(5^6 \div 5^2 = 5^4\)
次方的次方 \((a^m)^n = a^{mn}\) \((x^2)^5 = x^{10}\)
乘積的次方 \((ab)^n = a^n b^n\) \((3x)^2 = 9x^2\)
零次方 \(a^0 = 1\) \(7^0 = 1\)
負次方 \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)

對數的定義

\[ a^x = b \iff x = \log_a b, \quad a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0 \]

IB Math AI 主要使用兩種底數：

  • 常用對數 \(\log_{10} x\)，通常簡寫為 \(\log x\)：用於 pH 值、分貝、地震規模。
  • 自然對數 \(\ln x = \log_e x\)，其中 \(e \approx 2.71828\)：用於連續成長與衰減。

用對數解指數方程式

當未知數在指數上時，兩邊取對數即可把它「拉下來」。SL 考試中多半直接用 GDC 求解：

\[ 10^x = 350 \Rightarrow x = \log 350 \approx 2.54 \]
\[ e^{0.3t} = 5 \Rightarrow 0.3t = \ln 5 \Rightarrow t \approx 5.36 \]

GDC 解法

也可以把方程式兩邊當成兩個函數 \(y_1 = e^{0.3x}\)、\(y_2 = 5\)，用 GDC 的「交點」（intersect）功能找 \(x\)。這是 Paper 1 最可靠的方法。

對數律

對 \(a > 0\)、\(a \ne 1\) 與 \(x, y > 0\)：

\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \]
\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \]
\[ \log_a(x^m) = m\log_a x \]

換底公式（change of base）讓你用計算機算任意底數的對數：

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \]

這些規則是 對數線性化（HL） 的基礎：把 \(y = ab^x\) 取對數後變成 \(\log y = \log a + x\log b\)，就變成一條直線。

分數指數

分數指數表示根號：

\[ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]

例如 \(8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4\)。前面的指數律對分數指數同樣成立。

推薦影音

指數律與對數入門

簡述：TUTORIO 用數值例題快速複習整數指數律，接著介紹對數的定義與基本計算，對應本頁前半部 SL 內容。

AI 學生需要知道的對數

簡述：The Bearded Math Man 聚焦 AI 課程會考的對數題型，說明什麼時候用 \(\log\)、什麼時候用 \(\ln\)，以及 GDC 解法。

練習題

練習 1

化簡 \(\dfrac{(2x^3y^{-2})^3}{4x^2y}\)，答案只用正指數表示。

參考解答

分子 \(= 8x^9y^{-6}\)，除以 \(4x^2y\) 得 \(2x^7y^{-7} = \dfrac{2x^7}{y^7}\)。

練習 2

解 \(3e^{0.2t} = 45\)。

參考解答

\(e^{0.2t} = 15 \Rightarrow 0.2t = \ln 15 \Rightarrow t = 5\ln 15 \approx 13.5\)。

練習 3

溶液的 pH 值定義為 \(\text{pH} = -\log[\text{H}^+]\)。若 \([\text{H}^+] = 3.2 \times 10^{-5}\) mol/L，求 pH 值；若 pH 值為 \(8.3\)，求 \([\text{H}^+]\)。

參考解答
  • \(\text{pH} = -\log(3.2 \times 10^{-5}) \approx 4.49\)
  • \([\text{H}^+] = 10^{-8.3} \approx 5.01 \times 10^{-9}\) mol/L

練習 4

把 \(2\log 3 + \log 4 - \log 6\) 寫成單一對數並化簡。

參考解答

\(= \log 9 + \log 4 - \log 6 = \log\dfrac{9 \times 4}{6} = \log 6\)。

練習 5

不使用計算機，求 \(27^{\frac{2}{3}}\) 與 \((16x^8)^{\frac{3}{4}}\)。

參考解答
  • \(27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\)
  • \((16x^8)^{\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} \cdot x^{6} = 8x^6\)