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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

複數

複數（complex number）是形如 \(a + bi\) 的數，其中 \(i^2 = -1\)。在 IB Math AI HL 中，複數最重要的用途不是解方程式，而是描述旋轉與週期現象：用極式與 Euler 式可以把「兩個同頻率的正弦波相加」變成簡單的向量相加，這正是交流電路分析的做法。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 1.12、1.13），SL 學生可以略過。

HL 限定單元

本頁全部內容只屬於 HL。SL 學生可直接跳到 財務數學 或下一個分類。

直角座標式與四則運算

複數的直角座標式（Cartesian form）為 \(z = a + bi\)，\(a\) 是實部 \(\text{Re}(z)\)，\(b\) 是虛部 \(\text{Im}(z)\)。

  • 加減：實部與實部、虛部與虛部分別相加減。
  • 乘法：像多項式展開，再用 \(i^2 = -1\) 化簡。
  • 除法：分子分母同乘分母的共軛複數 \(z^* = a - bi\)，讓分母變成實數。
\[ \frac{3 + 4i}{1 - 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i \]

複數平面（Argand diagram）

把 \(z = a + bi\) 畫成平面上的點 \((a, b)\)，橫軸是實軸、縱軸是虛軸。這個平面讓複數有了「長度」和「方向」：

  • 模（modulus）：\(|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}\)，代表到原點的距離。
  • 輻角（argument）：\(\arg z = \theta\)，從正實軸逆時針量到 \(z\) 的角度，通常用弧度。

求 \(\theta\) 時先畫圖判斷象限，再用 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)，不要直接相信計算機的 \(\tan^{-1}\)。

極式與 Euler 式

同一個複數有三種寫法：

\[ z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} \]

極式 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 常簡寫為 \(r\,\text{cis}\,\theta\)。Euler 式 \(re^{i\theta}\) 讓乘除變得非常簡單：

\[ r_1e^{i\theta_1} \times r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2\,e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]
\[ \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \]

幾何意義：乘上 \(re^{i\theta}\) 等於「放大 \(r\) 倍並逆時針旋轉 \(\theta\)」。

用複數相加正弦波

兩個同頻率的正弦波相加，結果仍是同頻率的正弦波。把每個波寫成相量（phasor）\(Ae^{i\phi}\)，相加後再取模與輻角：

\[ A_1\sin(\omega t + \phi_1) + A_2\sin(\omega t + \phi_2) = R\sin(\omega t + \Phi) \]

其中 \(Re^{i\Phi} = A_1e^{i\phi_1} + A_2e^{i\phi_2}\)。這是 AI HL 交流電壓題的標準解法。

例題：兩個電壓相加

\(V_1 = 10\sin(\omega t)\)、\(V_2 = 10\sin\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\)。

\(10 + 10e^{i\pi/3} = 10 + 5 + 8.66i = 15 + 8.66i\)，模 \(= \sqrt{300} \approx 17.3\)，輻角 \(= \tan^{-1}\dfrac{8.66}{15} = \dfrac{\pi}{6}\)。

所以 \(V_1 + V_2 = 17.3\sin\left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)\)。

推薦影音

複數的三種形式

簡述：Revision Village 介紹直角式、極式、Euler 式的轉換與各自的運算優勢，並以 GDC 驗算，涵蓋本頁大部分內容。

練習題

練習 1

\(z = 3 + 4i\)、\(w = 1 - 2i\)。求 \(z + w\)、\(zw\)、\(\dfrac{z}{w}\)。

參考解答
  • \(z + w = 4 + 2i\)
  • \(zw = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 11 - 2i\)
  • \(\dfrac{z}{w} = -1 + 2i\)（見本頁除法示範）

練習 2

把 \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\) 寫成極式與 Euler 式。

參考解答

\(r = \sqrt{1 + 3} = 2\)，\(z\) 在第一象限，\(\theta = \tan^{-1}\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}\)。

\(z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}\)。

練習 3

\(z_1 = 2e^{i\pi/4}\)、\(z_2 = 3e^{i\pi/6}\)。求 \(z_1z_2\) 與 \(\dfrac{z_1}{z_2}\)，答案寫成 Euler 式。

參考解答
  • \(z_1z_2 = 6e^{i(\pi/4 + \pi/6)} = 6e^{i\,5\pi/12}\)
  • \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2}{3}e^{i(\pi/4 - \pi/6)} = \dfrac{2}{3}e^{i\pi/12}\)

練習 4

把 \(3\sin t + 4\cos t\) 寫成 \(R\sin(t + \Phi)\) 的形式。

參考解答

\(4\cos t = 4\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right)\)，相量為 \(3e^{i0} + 4e^{i\pi/2} = 3 + 4i\)。

\(R = |3 + 4i| = 5\)，\(\Phi = \tan^{-1}\dfrac{4}{3} \approx 0.927\)。所以 \(3\sin t + 4\cos t = 5\sin(t + 0.927)\)。