函數模型
函數模型（mathematical model）是用一個函數近似描述真實情境，例如用二次函數描述拋物運動、用指數函數描述人口成長、用正弦函數描述潮汐。IB Math AI 的核心能力就是：看到情境或資料，選對模型、求出參數、用模型預測，並說明模型的限制。SL 與 HL 共同學習課綱 2.5、2.6 的基本模型；HL 再加上一般正弦模型、邏輯斯蒂模型與自然對數模型（AHL 2.9）。
建模的五個步驟
IB 課綱把建模描述成一個循環：
- 發展模型（develop）：判斷資料的形狀，選擇函數類型。
- 擬合模型（fit）：用已知資料點或 GDC 迴歸求出參數。
- 檢驗模型（test）：比較模型預測與實際資料，看誤差大不大。
- 反思模型（reflect）：模型在什麼範圍內合理？有什麼假設？
- 使用模型（use）：預測與解釋。
外插的風險
用模型預測資料範圍以外的值（外插，extrapolation）通常不可靠。例如用 10 年資料預測 100 年後的人口，結果可能毫無意義。
SL 的基本模型有哪些？
| 模型 | 一般式 | 圖形特徵 | 典型情境 |
|---|---|---|---|
| 線性 | \(f(x) = mx + c\) | 直線 | 計程車費、等速運動 |
| 二次 | \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | 拋物線，有一個極值 | 拋物運動、利潤 |
| 指數 | \(f(x) = ka^x + c\) 或 \(ke^{rx} + c\) | 有水平漸近線 \(y = c\) | 人口、冷卻、藥物代謝 |
| 正比／反比 | \(f(x) = ax^n\)，\(n \in \mathbb{Z}\) | \(n > 0\) 正比；\(n < 0\) 反比 | 光強度與距離平方成反比 |
| 三次 | \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) | 最多兩個轉折點 | 體積、成本曲線 |
| 正弦（餘弦） | \(f(x) = a\sin(bx) + d\) | 週期性波動 | 潮汐、氣溫、摩天輪 |
二次模型的重點
- 對稱軸：\(x = -\dfrac{b}{2a}\)，頂點就在對稱軸上。
- \(a < 0\) 開口向下，頂點是最大值（例如球的最高點）。
- 零根代表「高度為 0」或「利潤為 0」的時刻，用 GDC 的 zero 功能求。
指數模型的重點
- \(a > 1\) 為成長、\(0 < a < 1\) 為衰減；\(e^{rx}\) 中 \(r > 0\) 成長、\(r < 0\) 衰減。
- 加上常數 \(c\) 會讓水平漸近線變成 \(y = c\)。冷卻問題中，\(c\) 就是室溫，代表長期會降到的溫度。
正弦模型的重點
對 \(f(x) = a\sin(bx) + d\)（SL 用角度制）：
- 振幅（amplitude）\(= |a| = \dfrac{\text{最大值} - \text{最小值}}{2}\)
- 週期（period）\(= \dfrac{360°}{b}\)
- 主軸（principal axis）\(y = d = \dfrac{\text{最大值} + \text{最小值}}{2}\)
HL 模型
一般正弦模型
\(c\) 是水平平移量。HL 通常使用弧度制，週期為 \(\dfrac{2\pi}{b}\)。
邏輯斯蒂模型（logistic model）
一開始近似指數成長，之後受資源限制而趨緩，最後趨近承載量（carrying capacity）\(L\)。典型情境：有限環境中的族群數量、新產品的市場普及率、傳染病累積感染人數。
自然對數模型
成長越來越慢但不會停止，適合描述學習曲線或感官知覺強度。
推薦影音
指數模型
簡述：Ginger Mathematician 講解指數模型的各種寫法、如何從資料求參數，以及帶漸近線的模型，SL 與 HL 都適用。
正弦模型
簡述：Peter Williams 示範如何從最大值、最小值與週期建立正弦模型，對應本頁「正弦模型的重點」。
HL 影片：邏輯斯蒂函數
簡述：Juliana Maths 介紹邏輯斯蒂函數的形狀、承載量與參數意義，適合 HL 同學學完「HL 模型」一節後觀看。
練習題
練習 1
球的高度 \(h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5\)（公尺，\(t\) 為秒）。
(a) 求最大高度與到達時間。 (b) 球何時落地？
參考解答
(a) 對稱軸 \(t = -\dfrac{19.6}{2(-4.9)} = 2\) 秒，\(h(2) = -19.6 + 39.2 + 1.5 = 21.1\) m。
(b) 用 GDC 解 \(h(t) = 0\)，取正根 \(t \approx 4.08\) 秒。
練習 2
一杯茶的溫度 \(T(t) = 20 + 70(0.9)^t\)（°C，\(t\) 為分鐘）。
(a) 茶的初始溫度是多少？ (b) 10 分鐘後的溫度是多少？ (c) 多久之後降到 \(30\) °C？ (d) \(20\) 在情境中代表什麼？
參考解答
(a) \(T(0) = 90\) °C。
(b) \(T(10) = 20 + 70(0.9)^{10} \approx 44.4\) °C。
(c) \(70(0.9)^t = 10 \Rightarrow 0.9^t = \dfrac{1}{7} \Rightarrow t = \dfrac{\ln(1/7)}{\ln 0.9} \approx 18.5\) 分鐘。
(d) 水平漸近線 \(T = 20\)，代表室溫：茶最後會降到室溫，但不會更低。
練習 3
港口水深 \(D(t) = 3\cos(30t) + 5\)（公尺，\(t\) 為午夜後的小時數，角度制）。
(a) 求週期、最大與最小水深。 (b) 凌晨 4 點的水深是多少？
參考解答
(a) 週期 \(= \dfrac{360}{30} = 12\) 小時；最大 \(5 + 3 = 8\) m，最小 \(5 - 3 = 2\) m。
(b) \(D(4) = 3\cos 120° + 5 = -1.5 + 5 = 3.5\) m。
練習 4
光的強度 \(I\) 與距離 \(d\) 的平方成反比。距離 \(2\) m 時強度為 \(100\) 單位，求距離 \(5\) m 時的強度。
參考解答
\(I = \dfrac{k}{d^2}\)，\(100 = \dfrac{k}{4} \Rightarrow k = 400\)。\(I(5) = \dfrac{400}{25} = 16\) 單位。
練習 5
某湖中魚的數量 \(P(t) = \dfrac{1000}{1 + 9e^{-0.5t}}\)（\(t\) 為年）。
(a) 一開始有幾條魚？ (b) 長期而言魚的數量會趨近多少？ (c) 何時數量達到 \(500\) 條？
參考解答
(a) \(P(0) = \dfrac{1000}{10} = 100\) 條。
(b) \(t \to \infty\) 時 \(e^{-0.5t} \to 0\)，\(P \to 1000\) 條（承載量）。
(c) \(1 + 9e^{-0.5t} = 2 \Rightarrow e^{-0.5t} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow t = 2\ln 9 \approx 4.39\) 年。