資料收集與描述統計
描述統計（descriptive statistics）用幾個數字與圖表摘要一組資料的「中心在哪裡」與「分散程度多大」，是所有統計分析的第一步。本頁說明母體與樣本、五種抽樣方法、常用統計圖，以及平均數、中位數、四分位數、標準差與離群值的判斷。本頁屬於 SL 與 HL 共同內容（課綱 4.1～4.3），最後附上 HL 的資料收集設計（AHL 4.12）。
母體、樣本與資料類型
- 母體（population）：想研究的全部對象，例如全校學生。
- 樣本（sample）：實際收集資料的一部分對象。樣本要有代表性，結論才能推廣到母體。
- 離散資料（discrete）：可數的值，例如兄弟姊妹人數。
- 連續資料（continuous）：可以是範圍內任意值，例如身高、時間。
- 偏差（bias）：抽樣或測量方法讓結果系統性地偏離真實值。
五種抽樣方法
| 方法 | 英文 | 做法 | 優缺點 |
|---|---|---|---|
| 簡單隨機抽樣 | simple random | 每個個體被抽中的機率相同，例如抽籤、亂數 | 公平，但需要完整名單 |
| 便利抽樣 | convenience | 選最容易取得的對象，例如問路過的人 | 方便，但容易有偏差 |
| 系統抽樣 | systematic | 依固定間隔抽，例如每第 10 位顧客 | 容易執行；若名單有週期性會偏差 |
| 配額抽樣 | quota | 依類別比例抽，但每類中不隨機（例如找滿 20 位男生為止） | 快速，但類別內有偏差 |
| 分層抽樣 | stratified | 依類別比例分層，每層內隨機抽樣 | 代表性最好，但需要知道各層比例 |
分層抽樣的人數計算：某層應抽人數 \(= \dfrac{\text{該層人數}}{\text{母體總數}} \times \text{樣本大小}\)。
常用統計圖
- 直方圖（histogram）：連續資料的次數分配，長條之間沒有空隙。
- 累積次數圖（cumulative frequency graph）：在每組的上界畫累積次數，連成平滑曲線；可讀出中位數（\(\frac{n}{2}\) 處）與四分位數（\(\frac{n}{4}\)、\(\frac{3n}{4}\) 處）。
- 盒鬚圖（box-and-whisker plot）：用最小值、\(Q_1\)、中位數、\(Q_3\)、最大值五個數字呈現分布，離群值以單獨的點標示。適合比較兩組資料。
集中趨勢與離散程度
| 量數 | 意義 | 特點 |
|---|---|---|
| 平均數 \(\bar{x}\) | \(\dfrac{\sum x}{n}\) | 會被離群值拉動 |
| 中位數 | 排序後正中間的值 | 不受離群值影響 |
| 眾數 | 出現最多次的值 | 適合類別資料 |
| 全距 | 最大值 − 最小值 | 很受極端值影響 |
| 四分位距 IQR | \(Q_3 - Q_1\) | 中間 50% 資料的範圍 |
| 標準差 \(\sigma\) | 資料離平均數的典型距離 | 用 GDC 的 1-Var Stats 計算 |
分組資料：用每組的組中點（mid-interval value）代表該組，估計平均數 \(\bar{x} \approx \dfrac{\sum f x}{\sum f}\)；次數最多的組稱為眾數組（modal class）。
資料整體變動時，統計量怎麼變？
- 每個值都加上 \(b\)：平均數、中位數加 \(b\)；標準差、IQR 不變。
- 每個值都乘上 \(a\)：平均數、中位數乘 \(a\)；標準差、IQR 乘 \(|a|\)；變異數乘 \(a^2\)。
離群值
IB 的離群值（outlier）定義：
發現離群值時，要判斷它是記錄錯誤（應刪除）還是真實但極端的資料（應保留並說明）。
資料收集設計
HL 需要評估資料收集方法的品質：
- 信度（reliability）：重複測量是否得到一致結果。可用重測信度（test-retest）或平行測驗（parallel forms）檢查。
- 效度（validity）：測量的是否真的是想測的東西。分為內容效度（content validity）與效標效度（criterion-related validity）。
- 問卷設計要避免引導性問題，分組時要確保每組期望次數足夠（卡方檢定要求期望次數至少 5，見 假設檢定）。
推薦影音
抽樣方法
簡述：Revision Village 逐一介紹五種抽樣方法並比較優缺點，考題常要你「辨認」或「評論」抽樣方法。
四分位數、IQR 與盒鬚圖
簡述：Revision Village 示範四分位數的求法、IQR 判斷離群值，以及畫盒鬚圖，對應本頁後半部。
練習題
練習 1
辨認下列抽樣方法：
(a) 從 1200 位學生中，依年級比例，在每個年級用亂數表抽出學生。 (b) 在超市門口，每隔 15 位顧客訪問一位。 (c) 在學校餐廳詢問正在排隊的同學。
參考解答
(a) 分層抽樣 (b) 系統抽樣 (c) 便利抽樣
練習 2
某校有 600 位男生、400 位女生。要用分層抽樣抽出 50 人，男生、女生各應抽幾人？
參考解答
男生 \(\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30\) 人；女生 \(\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20\) 人。
練習 3
資料：\(3, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 30\)。
(a) 求平均數、中位數、\(Q_1\)、\(Q_3\) 與 IQR。 (b) 判斷是否有離群值。 (c) 求母體標準差。
參考解答
(a) 平均數 \(= \dfrac{106}{10} = 10.6\)；中位數 \(= \dfrac{8 + 9}{2} = 8.5\)；\(Q_1 = 7\)、\(Q_3 = 12\)；IQR \(= 5\)。
(b) 上限 \(12 + 1.5 \times 5 = 19.5\)，下限 \(7 - 7.5 = -0.5\)。\(30 > 19.5\)，所以 \(30\) 是離群值。
(c) 用 GDC 1-Var Stats：\(\sigma \approx 7.23\)。
練習 4
練習 3 的每個值都先乘以 2 再加 5。新的平均數、中位數、標準差與 IQR 分別是多少？
參考解答
- 平均數 \(= 2(10.6) + 5 = 26.2\)
- 中位數 \(= 2(8.5) + 5 = 22\)
- 標準差 \(= 2(7.23) \approx 14.5\)（加 5 不影響）
- IQR \(= 2(5) = 10\)
練習 5
30 位同學的通勤時間如下表，估計平均通勤時間，並寫出眾數組。
| 時間 \(t\)（分鐘） | \(0 < t \le 10\) | \(10 < t \le 20\) | \(20 < t \le 30\) | \(30 < t \le 40\) |
|---|---|---|---|---|
| 人數 | 5 | 12 | 8 | 5 |
參考解答
組中點 \(5, 15, 25, 35\)：
眾數組是 \(10 < t \le 20\)。