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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

財務數學

財務數學（financial mathematics）用等比數列的觀念計算複利、折舊、通貨膨脹、年金與貸款，是 IB Math AI 最貼近日常生活、也最常考的單元之一。考試時幾乎都用 GDC 的財務計算功能（TVM Solver）解題，重點是看懂題意並正確輸入每個變數。本頁屬於 SL 與 HL 共同內容（課綱 1.4、1.7）。

複利公式

複利（compound interest）指利息會加入本金，下一期連同利息一起再生利息。公式表提供：

\[ FV = PV \times \left(1 + \frac{r}{100k}\right)^{kn} \]
符號 意義
\(FV\) 終值（future value）
\(PV\) 現值（present value），即本金
\(r\) 年利率（%）
\(k\) 每年複利次數（年 1、季 4、月 12）
\(n\) 年數

例題

\(1000\) 元存入年利率 \(6\%\)、每季複利的帳戶 5 年：

\[ FV = 1000\left(1 + \frac{6}{400}\right)^{20} \approx 1346.86 \text{ 元} \]

折舊與通貨膨脹

折舊（depreciation）是資產價值每年依固定百分比下降，公式與複利相同，只是利率取負值：

\[ V = V_0 \left(1 - \frac{r}{100}\right)^{n} \]

通貨膨脹（inflation）讓物價每年依一定比例上升，計算方式和複利一樣。題目若問「實質」價值（real value），要把名目利率扣掉通膨率：

\[ \text{實質利率} \approx \text{名目利率} - \text{通膨率} \]

IB 題目通常接受這個近似；若要精確，實質成長倍率為 \(\dfrac{1 + i_{\text{名目}}}{1 + i_{\text{通膨}}}\)。

用 TVM Solver 解題

TVM（Time Value of Money）Solver 是 GDC 內建的財務計算器。TI-84 在 APPS → Finance → TVM Solver，TI-Nspire 在 Calculator → Finance Solver。

變數 意義 輸入提醒
N 總期數 年數 × 每年付款次數
I% 年利率 直接輸入百分比數字，例如 4.2
PV 現值 錢「離開你的口袋」記負數
PMT 每期付款 同上，方向要和 PV 一致思考
FV 終值 貸款還清時為 0
P/Y 每年付款次數 每月付款填 12
C/Y 每年複利次數 題目沒特別說明時通常與 P/Y 相同

正負號規則

TVM Solver 用正負號代表現金流方向：你付出的錢是負，你收到的錢是正。存款時 PV、PMT 為負，FV 為正；借貸時 PV（拿到的貸款）為正，PMT（每月還款）為負。

年金與貸款攤還

年金（annuity）是定期、定額的一連串付款，例如每月存款或退休後每月領錢。貸款攤還（amortization）是用定期、定額的付款把貸款連本帶利還清，房貸與車貸都是。

常見問題與 TVM 設定：

  • 每月要繳多少？ 輸入 N、I%、PV、FV = 0，求 PMT。
  • 總共付了多少利息？ 總利息 \(= |PMT| \times N - PV\)。
  • 幾年才能存到目標？ 輸入 I%、PV、PMT、FV，求 N，再除以 P/Y 換成年數。

推薦影音

GDC 財務計算（TVM Solver）教學

簡述：Revision Village 示範 TVM Solver 每個欄位的意思與正負號規則，並用貸款與投資例題實際操作，對應本頁「用 TVM Solver 解題」。

年金與貸款攤還考題解析

簡述：Global Math Mentor 以 IB Paper 2 風格題目講解年金與攤還，包含總利息計算，適合練完本頁習題後挑戰。

練習題

練習 1

\(5000\) 美元存入年利率 \(3.5\%\)、每月複利的帳戶。6 年後帳戶有多少錢？（取到小數點後兩位）

參考解答
\[ FV = 5000\left(1 + \frac{3.5}{1200}\right)^{72} \approx 6166.51 \text{ 美元} \]

TVM：N = 72、I% = 3.5、PV = −5000、PMT = 0、P/Y = C/Y = 12，求 FV。

練習 2

一台新車售價 \(28\,000\) 美元，每年折舊 \(15\%\)。5 年後車子價值多少？

參考解答

\(V = 28\,000 \times 0.85^{5} \approx 12\,423.75\) 美元。

練習 3

一杯咖啡現在 \(50\) 元，若每年通膨率 \(2.5\%\)，8 年後同一杯咖啡約多少錢？

參考解答

\(50 \times 1.025^{8} \approx 60.92\) 元。

練習 4

小華每月月底存 \(300\) 美元到年利率 \(5\%\)、每月複利的帳戶，連續 10 年。10 年後帳戶有多少錢？

參考解答

TVM：N = 120、I% = 5、PV = 0、PMT = −300、P/Y = C/Y = 12，求 FV ≈ 46 584.68 美元。

也可以用等比級數驗算：\(FV = 300 \times \dfrac{(1 + \frac{0.05}{12})^{120} - 1}{\frac{0.05}{12}}\)。

練習 5

一筆 \(200\,000\) 美元的房貸，年利率 \(4.2\%\)、每月複利，分 25 年每月等額還清。

(a) 每月還款金額是多少？ (b) 25 年總共付了多少利息？

參考解答

(a) TVM：N = 300、I% = 4.2、PV = 200 000、FV = 0、P/Y = C/Y = 12，求 PMT ≈ −1077.88，每月還 \(1077.88\) 美元。

(b) 總付款 \(= 1077.88 \times 300 \approx 323\,365\)；總利息 \(\approx 323\,365 - 200\,000 = 123\,365\) 美元（約 \(1.23 \times 10^5\)）。