矩陣與特徵值
矩陣（matrix）是把數字排成列與行的表格，能一次處理多個變數之間的關係。在 IB Math AI HL 中，矩陣用來解聯立方程式、描述平面上的旋轉與縮放，並透過特徵值（eigenvalue）快速計算矩陣的高次方，進而分析 Markov 鏈 的長期趨勢與 耦合微分方程。本頁是 HL 限定內容（課綱 AHL 1.14、1.15、3.9）。
HL 限定單元
本頁全部內容只屬於 HL。考試中矩陣的乘法、反矩陣、特徵值都可以用 GDC 計算，但你仍需理解每一步的意義。
矩陣的基本運算
一個 \(m \times n\) 矩陣有 \(m\) 列（row）、\(n\) 行（column）。
- 加減：同尺寸的矩陣，對應位置相加減。
- 純量乘法：每個元素都乘上同一個數。
- 矩陣乘法：\(A\) 是 \(m \times n\)、\(B\) 是 \(n \times p\) 時，\(AB\) 是 \(m \times p\)。\(AB\) 第 \(i\) 列第 \(j\) 行 \(=\) \(A\) 的第 \(i\) 列與 \(B\) 的第 \(j\) 行對應相乘再相加。
矩陣乘法不能交換
一般來說 \(AB \ne BA\)。寫算式時順序非常重要，尤其在合成幾何變換時。
單位矩陣 \(I\) 的對角線是 1、其餘是 0，滿足 \(AI = IA = A\)。
行列式與反矩陣
\(2 \times 2\) 矩陣 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 的行列式（determinant）為
若 \(\det A \ne 0\)，\(A\) 有反矩陣（inverse）：
\(3 \times 3\) 的行列式與反矩陣用 GDC 計算即可。
用矩陣解聯立方程式
聯立方程式可以寫成 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，兩邊左乘 \(A^{-1}\) 得到
若 \(\det A = 0\)，方程組沒有唯一解（無解或無限多解）。
特徵值與特徵向量
若非零向量 \(\mathbf{v}\) 經過矩陣 \(M\) 作用後只被放大或縮小、方向不變：
則 \(\lambda\) 稱為特徵值，\(\mathbf{v}\) 稱為對應的特徵向量（eigenvector）。
求法：解特徵方程式 \(\det(M - \lambda I) = 0\)。對 \(2 \times 2\) 矩陣，
再把每個 \(\lambda\) 代回 \((M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 找出 \(\mathbf{v}\)。
對角化與矩陣次方
若 \(M\) 有兩個相異特徵值 \(\lambda_1, \lambda_2\)，對應特徵向量組成矩陣 \(P\)，則
這讓我們能寫出 \(M^n\) 的一般式，並判斷 \(n \to \infty\) 時的長期行為：最大特徵值主導結果。
矩陣與幾何變換
平面上的點 \((x, y)\) 寫成行向量，乘上 \(2 \times 2\) 矩陣就得到變換後的點。常見變換矩陣（公式表有提供）：
| 變換 | 矩陣 |
|---|---|
| 繞原點逆時針旋轉 \(\theta\) | \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) |
| 對直線 \(y = (\tan\theta)x\) 鏡射 | \(\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}\) |
| 水平伸縮 \(k\) 倍 | \(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) |
| 垂直伸縮 \(k\) 倍 | \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\) |
| 以原點為中心放大 \(k\) 倍 | \(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\) |
重點觀念：
- 平移不是矩陣乘法，而是加上一個向量：\(\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b}\)。
- 合成變換：先做 \(A\) 再做 \(B\)，矩陣是 \(BA\)（由右往左讀）。
- 面積倍率：變換後的面積 \(= |\det A| \times\) 原面積。
推薦影音
矩陣入門
簡述：Revision Village 介紹矩陣的尺寸、加減、純量乘法與矩陣乘法，適合第一次接觸矩陣的 HL 同學。
GDC 矩陣操作
簡述：Revision Village 示範在計算機輸入矩陣、求行列式、反矩陣與次方，考試時能大幅節省時間。
特徵值、特徵向量與矩陣次方
簡述：Revision Village 講解特徵方程式、特徵向量與對角化，並用 \(M^n = PD^nP^{-1}\) 求矩陣次方，對應本頁「特徵值與特徵向量」。
幾何變換
簡述：Revision Village 示範旋轉、鏡射、伸縮矩陣與合成變換，以及用行列式求面積倍率，對應本頁「矩陣與幾何變換」。
練習題
練習 1
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)、\(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)。求 \(AB\)、\(\det A\)、\(A^{-1}\)。
參考解答
- \(AB = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 0 + 2 \\ 3 - 4 & 0 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 8 \end{pmatrix}\)
- \(\det A = 8 - 3 = 5\)
- \(A^{-1} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\)
練習 2
用反矩陣解 \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x + 4y = 18 \end{cases}\)。
參考解答
係數矩陣就是練習 1 的 \(A\)。
練習 3
\(M = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)。
(a) 求 \(M\) 的特徵值與對應的特徵向量。 (b) 寫出 \(M = PDP^{-1}\)。 (c) 證明 \(M^n\) 左上角的元素為 \(\dfrac{2 \cdot 5^n + 2^n}{3}\)。
參考解答
(a) \(\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda = 5\) 或 \(2\)。
- \(\lambda = 5\)：\(-x + y = 0\)，特徵向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
- \(\lambda = 2\)：\(2x + y = 0\)，特徵向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)
(b) \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\)、\(D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)、\(P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)。
(c) \(M^n = PD^nP^{-1}\)，左上角 \(= 1 \cdot 5^n \cdot \dfrac{2}{3} + 1 \cdot 2^n \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \cdot 5^n + 2^n}{3}\)。驗算 \(n = 1\)：\(\dfrac{10 + 2}{3} = 4\) ✓。
練習 4
點 \(P(3, 2)\) 先繞原點逆時針旋轉 \(90°\)，再對 \(x\) 軸鏡射。
(a) 寫出合成變換的單一矩陣。 (b) 求 \(P\) 的像。
參考解答
旋轉 \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)，對 \(x\) 軸鏡射（\(\theta = 0\)）\(F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)。
(a) 先 \(R\) 後 \(F\)：\(FR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)（這是對直線 \(y = -x\) 的鏡射）。
(b) \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}\)。
練習 5
面積 \(6\) 的三角形經過矩陣 \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) 變換後，面積是多少？
參考解答
\(\det = 6 - 1 = 5\)，新面積 \(= 5 \times 6 = 30\)。