直線與函數基礎
直線是最簡單、也最常用的數學模型：它描述「每增加一單位 \(x\)，\(y\) 就固定增加 \(m\)」的關係。本頁先整理直線方程式與斜率，再介紹函數的定義域、值域與反函數概念，最後說明如何用 GDC 解聯立方程式與多項式方程式。本頁屬於 SL 與 HL 共同內容（課綱 2.1～2.4、1.8）。
斜率與直線方程式
通過 \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\) 的直線，斜率（gradient）為
直線方程式有三種常見寫法，IB 都會用到：
| 形式 | 公式 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 斜截式（gradient-intercept） | \(y = mx + c\) | 直接看出斜率與 \(y\) 截距 |
| 點斜式（point-gradient） | \(y - y_1 = m(x - x_1)\) | 已知一點與斜率 |
| 一般式（general form） | \(ax + by + d = 0\) | 題目要求「整數係數」時 |
在應用題中，\(m\) 代表變化率（例如每公里的計程車費），\(c\) 代表起始值（例如起跳價）。
平行與垂直
- 兩直線平行：\(m_1 = m_2\)
- 兩直線垂直：\(m_1 \times m_2 = -1\)，即 \(m_2 = -\dfrac{1}{m_1}\)
垂直的觀念會在 Voronoi 圖 的垂直平分線中再次用到。
什麼是函數？
函數（function）是一種對應規則：每一個輸入 \(x\) 恰好對應一個輸出 \(f(x)\)。
- 定義域（domain）：所有允許的輸入值。在建模中，定義域常受情境限制，例如時間 \(t \ge 0\)。
- 值域（range）：所有可能的輸出值。
- 垂直線測試：任一條垂直線與圖形最多交一點，才是函數。
反函數的概念
反函數（inverse function）\(f^{-1}\) 把函數的效果「反過來」：若 \(f(a) = b\)，則 \(f^{-1}(b) = a\)。
- \(f^{-1}\) 的圖形是 \(f\) 的圖形對直線 \(y = x\) 的鏡射。
- 求 \(f^{-1}(5)\) 就是解 \(f(x) = 5\)。
HL 延伸
HL 需要用代數方法求出 \(f^{-1}(x)\) 的一般式，並處理合成函數 \((f \circ g)(x)\)，詳見 函數變換與線性化（HL）。
函數圖形的關鍵特徵
用 GDC 畫出函數圖形後，題目常問以下特徵：
- 截距：與 \(x\) 軸交點（零根，zeros）、與 \(y\) 軸交點。
- 極大值與極小值：GDC 的 maximum／minimum 功能。
- 漸近線（asymptote）：圖形無限接近但不相交的直線，例如 \(y = 2^x\) 的 \(y = 0\)。
- 兩函數的交點：GDC 的 intersect 功能，對應解 \(f(x) = g(x)\)。
畫圖時要依題目的定義域設定視窗（WINDOW），並在草圖上標出截距、極值與漸近線。
用 GDC 解方程組與多項式方程式
課綱 1.8 要求會用 GDC 解：
- 聯立一次方程組：最多三個未知數。TI-84 用
APPS → PlySmlt2 → Simultaneous Eqn Solver；TI-Nspire 用Algebra → Solve System of Linear Equations。 - 多項式方程式：例如三次方程式的實根。TI-84 用
PlySmlt2 → Polynomial Root Finder。
考試時要先寫出方程組（這一步有分數），再寫「用 GDC 得到」與答案。
推薦影音
直線方程式
簡述：Mr. Flynn IB 說明斜率、三種直線方程式形式與彼此的轉換，AA 與 AI 學生都適用。
平行與垂直斜率
簡述：Revision Village 示範平行線、垂直線的斜率關係與考題，對應本頁「平行與垂直」。
練習題
練習 1
求通過 \((2, 5)\) 與 \((6, 13)\) 的直線方程式。
參考解答
\(m = \dfrac{13 - 5}{6 - 2} = 2\)，\(y - 5 = 2(x - 2)\)，即 \(y = 2x + 1\)。
練習 2
求通過 \((6, 1)\) 且與 \(y = 3x - 4\) 垂直的直線，答案寫成 \(ax + by + d = 0\)（整數係數）。
參考解答
垂直斜率 \(m = -\dfrac{1}{3}\)。\(y - 1 = -\dfrac{1}{3}(x - 6)\)，兩邊乘 3：\(3y - 3 = -x + 6\)，即 \(x + 3y - 9 = 0\)。
練習 3
計程車起跳 \(3\) 美元，每公里加收 \(1.5\) 美元。
(a) 寫出車資 \(C\) 與距離 \(d\)（km）的函數。 (b) 車資 \(24\) 美元時，坐了多少公里？ (c) 說明斜率在情境中的意義。
參考解答
(a) \(C(d) = 1.5d + 3\)，\(d \ge 0\)。
(b) \(1.5d + 3 = 24 \Rightarrow d = 14\) km。
(c) 斜率 \(1.5\) 表示每多坐 1 公里，車資增加 \(1.5\) 美元。
練習 4
\(f(x) = 2x + 3\)。求 \(f^{-1}(11)\)。
參考解答
解 \(2x + 3 = 11\)，得 \(x = 4\)，所以 \(f^{-1}(11) = 4\)。
練習 5
用 GDC 解 \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}\)，並解 \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\)。
參考解答
- 方程組：\(x = 1\)、\(y = 2\)、\(z = 3\)（代回三式驗算都成立）。
- 三次方程式：\(x = -2,\ 1,\ 3\)。