三角學與立體幾何
三角學（trigonometry）研究三角形的邊與角之間的關係，讓我們能在無法直接測量的情況下求出距離、高度與角度；立體幾何則處理三維空間中的距離、角度、體積與表面積。本頁涵蓋 SL 與 HL 共同內容（課綱 3.1～3.4），以及 HL 的弧度、單位圓與三角方程式（AHL 3.7、3.8）。
立體幾何：距離、體積與表面積
三維空間中兩點 \((x_1, y_1, z_1)\)、\((x_2, y_2, z_2)\) 的距離與中點：
常見立體的公式（公式表都有提供）：
| 立體 | 體積 | 表面積 |
|---|---|---|
| 角錐（pyramid） | \(V = \dfrac{1}{3}Ah\) | 底面積 + 各側面三角形面積 |
| 圓錐（cone） | \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) | 側面積 \(= \pi r l\)（\(l\) 為斜高） |
| 球（sphere） | \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) | \(A = 4\pi r^2\) |
| 圓柱（cylinder） | \(V = \pi r^2 h\) | 側面積 \(= 2\pi r h\) |
組合立體（例如圓柱上面加半球）把各部分分開計算再相加，注意「接合面」不算表面積。
空間中的角度：要找「線與平面的夾角」，先從線上一點往平面作垂線，構造出一個直角三角形，再用三角比求角。
直角三角形的三角比
常見應用：
- 仰角（angle of elevation）：從水平線往上看的角度；俯角（angle of depression）：從水平線往下看的角度。
- 方位角（bearing）：從正北順時針量的角度，寫成三位數，例如 \(060°\)。
正弦定理、餘弦定理與三角形面積
非直角三角形中，邊 \(a, b, c\) 分別對應角 \(A, B, C\)。
正弦定理（sine rule）：已知兩角一邊，或兩邊與其中一邊的對角時使用。
餘弦定理（cosine rule）：已知兩邊與夾角求第三邊，或已知三邊求角時使用。
三角形面積：
該用哪一個公式？
- 有「一組完整的對邊與對角」→ 正弦定理
- 兩邊夾一角（SAS）或三邊（SSS）→ 餘弦定理
- 求面積且有兩邊夾角 → \(\frac{1}{2}ab\sin C\)
弧長與扇形面積
SL 使用角度制，圓心角 \(\theta°\)、半徑 \(r\)：
弧度、單位圓與三角方程式
弧度
弧度（radian）用「弧長等於半徑」時的圓心角當作 1 單位：\(\pi \text{ rad} = 180°\)。用弧度時公式變得更簡潔：
單位圓
在半徑 1 的單位圓上，角 \(\theta\) 對應的點座標為 \((\cos\theta, \sin\theta)\)。這個定義讓三角函數可以用在任意角度，並得到兩個重要恆等式：
正弦定理的模糊情況
已知兩邊與其中一邊的非夾角（SSA）時，\(\sin B\) 的值可能對應兩個角 \(B\) 與 \(180° - B\)，因此可能有兩個三角形。兩個角都要檢查是否讓三角形內角和小於 \(180°\)。
解三角方程式
在指定區間內解 \(\sin x = k\) 之類的方程式，可以用 GDC 畫出 \(y = \sin x\) 與 \(y = k\)，找出區間內所有交點。也可以先求一個解，再用對稱性與週期找出其他解。
推薦影音
直角三角形三角比
簡述：Revision Village 複習 SOH-CAH-TOA、仰角俯角的應用題，適合作為三角學的起點。
正弦定理、餘弦定理與三角形面積
簡述：Revision Village 講解何時用正弦定理、何時用餘弦定理，以及 \(\frac{1}{2}ab\sin C\)，並示範 IB 考題，對應本頁核心內容。
弧長與扇形面積
簡述：Revision Village 示範弧長與扇形面積的計算，以及如何組合三角形求弓形面積。
組合立體的體積與表面積
簡述：MLPB Mathematics 解析 2023 年 5 月 Paper 1 的組合立體考題，示範如何拆解立體並避免重複計算表面積。
練習題
練習 1
一架 \(5\) m 長的梯子靠在牆上，與地面夾角 \(70°\)。梯子頂端離地多高？
參考解答
\(h = 5\sin 70° \approx 4.70\) m。
練習 2
三角形 \(ABC\) 中 \(A = 40°\)、\(B = 65°\)、\(a = 10\) cm。求 \(b\)。
參考解答
\(b = \dfrac{10\sin 65°}{\sin 40°} \approx 14.1\) cm。
練習 3
三角形兩邊長 \(7\) cm、\(8\) cm，夾角 \(50°\)。求第三邊長與三角形面積。
參考解答
- \(c^2 = 49 + 64 - 2(7)(8)\cos 50° \approx 41.0\)，\(c \approx 6.40\) cm
- 面積 \(= \frac{1}{2}(7)(8)\sin 50° \approx 21.4\) cm²
練習 4
一艘船從港口沿方位角 \(060°\) 航行 \(12\) km，再沿方位角 \(150°\) 航行 \(8\) km。船離港口多遠？
參考解答
兩段航線方向相差 \(150° - 60° = 90°\)，所以在轉彎處形成直角。
距離 \(= \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{208} \approx 14.4\) km。
練習 5
圓的半徑 \(9\) cm，圓心角 \(80°\)。求弧長與扇形面積。
參考解答
- 弧長 \(= \dfrac{80}{360} \times 2\pi(9) \approx 12.6\) cm
- 扇形面積 \(= \dfrac{80}{360} \times \pi(81) \approx 56.5\) cm²
練習 6
圓錐底面半徑 \(3\) cm、高 \(4\) cm。求體積與總表面積。
參考解答
斜高 \(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) cm。
- 體積 \(= \frac{1}{3}\pi(9)(4) = 12\pi \approx 37.7\) cm³
- 總表面積 \(= \pi r l + \pi r^2 = 15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 75.4\) cm²
練習 7
長方體長 \(6\)、寬 \(4\)、高 \(3\)。求體對角線長，以及體對角線與底面的夾角。
參考解答
底面對角線 \(= \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\)；體對角線 \(= \sqrt{52 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81\)。
夾角 \(\theta\)：\(\tan\theta = \dfrac{3}{\sqrt{52}}\)，\(\theta \approx 22.6°\)。
練習 8
(a) 把 \(150°\) 換成弧度。 (b) 在 \(0 \le x \le 2\pi\) 解 \(2\sin x = 1\)。 (c) 三角形中 \(a = 7\)、\(b = 10\)、\(A = 35°\)。求 \(B\) 的所有可能值。
參考解答
(a) \(150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\)。
(b) \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)，\(x = \dfrac{\pi}{6}\) 或 \(\dfrac{5\pi}{6}\)。
(c) \(\sin B = \dfrac{10\sin 35°}{7} \approx 0.819\)，\(B \approx 55.0°\) 或 \(125.0°\)。兩者加上 \(35°\) 都小於 \(180°\)，所以兩個答案都成立（模糊情況）。