建立 2025-08-12 更新 2026-09-21

永續年金

永續年金（Perpetuity）是每期固定金額、永遠領下去的現金流，沒有到期日。現實裡最接近的例子是永續債券與部分特別股：發行人只付股利或利息，不還本金。它看起來很極端，卻是股票估價與許多定價公式的基礎。

現值公式

每期領 \(C\)、每期折現率 \(r\)，永續年金的現值是：

為什麼這麼簡單？ 從 年金現值係數 出發，期數 \(n\) 趨近無限大時，\((1+r)^{-n}\) 會趨近 0：

所以現值就是 \(C \times \frac{1}{r}\)。

例子：某檔特別股每年固定發 5 元股利，你要求的報酬率是 4%：

只要價格低於 125 元，就比你要求的 4% 更划算。

永遠真的等於很久嗎

期數很長時，年金現值會逼近永續年金。以 \(r = 5\%\)、每年領 1 元為例，永續年金現值是 \(1 / 0.05 = 20\)：

第 50 年之後的現金流，折現後幾乎沒有分量。這也是為什麼超長期的現金流，可以用永續年金當近似。

成長型永續年金

如果現金流每期按固定比例 \(g\) 成長，第一期金額是 \(C_1\)：

例子：第一年股利 5 元，之後每年成長 3%，折現率 8%：

這就是股票估價的股利成長模型（Gordon Growth Model），見 股價估算。

折現率的敏感度

永續年金對 \(r\) 非常敏感。每年領 100 元：

折現率從 5% 升到 6%，現值就掉 17%。這也解釋了利率上升時，長天期資產（長債、成長股）價格為什麼下跌得特別多。

期初的永續年金

如果第一筆現金流是現在就領，而不是一期後，要多算第一筆：

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