選擇權估價
選擇權 的權利金該值多少？估價的核心想法是：選擇權的價值，等於複製出它的報酬所需要的成本。只要能用標的資產與無風險借貸，組出和選擇權一模一樣的報酬，兩者價格就必須相同，否則就有無風險套利。本頁先看到期時的價值，再用最簡單的二項模型算出一個價格，最後說明哪些因素會改變它。
到期時的價值
履約價 \(K\)、到期時標的價格 \(S_T\)：
選擇權只有權利、沒有義務，所以價值不會小於 0。到期之前，權利金拆成兩塊：
- 內在價值：現在立刻履約能賺多少。例如履約價 100 的買權、標的 108，內在價值是 8。
- 時間價值：距離到期還有時間、價格還可能變動，所以願意多付的部分。權利金 12 的話，時間價值就是 4。到期日時間價值歸零。
哪些因素影響權利金
其他條件不變時：
| 因素上升 | 買權 | 賣權 |
|---|---|---|
| 標的價格 \(S\) | 上升 | 下降 |
| 履約價 \(K\) | 下降 | 上升 |
| 波動度 \(\sigma\) | 上升 | 上升 |
| 距到期時間 \(T\) | 上升 | 通常上升 |
| 無風險利率 \(r\) | 上升 | 下降 |
波動度是最特別的一項：因為選擇權的損失有限、獲利無限，波動愈大，多賺的機會愈值錢，對買權與賣權都是加分。市場報價反推出來的波動度，就是 隱含波動率。
買賣權平價
同一標的、同一履約價、同一到期日的歐式買權與賣權，價格不能各算各的：
意思是「買一個買權、賣一個賣權」，等於「以履約價買進標的」，其成本是現價減去履約價的現值。兩邊不相等，就有套利機會。這條關係只要知道買權價格，就能推出賣權價格。
二項模型：一期的例子
假設標的現價 \(S = 100\)，一期後只可能變成 120（上漲）或 80（下跌），無風險利率 5%。履約價 \(K = 100\) 的歐式買權，到期報酬是：
| 情境 | 標的價格 | 買權報酬 |
|---|---|---|
| 上漲 | 120 | 20 |
| 下跌 | 80 | 0 |
方法一：複製投資組合。 買進 \(\Delta\) 股標的，並借出／借入無風險資金，讓兩種情境的報酬都和買權一樣：
買 0.5 股標的，再借款讓下跌時剛好還清：借款金額 \(0.5 \times 80 / 1.05 \approx 38.10\)。這個組合現在的成本是：
所以買權價格就是 11.90。
方法二：風險中立機率。 定義上漲機率
再把期望報酬用無風險利率折現：
兩種方法結果相同。同一組資料，賣權報酬（上漲 0、下跌 20）的價格是 \(0.375 \times 20 / 1.05 \approx 7.14\)。用平價公式驗算：
q 不是真實機率
\(q\) 是讓「用無風險利率折現」成立的人為機率，稱為風險中立機率，不代表你認為股價真的有 62.5% 會上漲。用它只是計算工具；價格只取決於能不能複製，跟你是否看好標的無關。
從二項模型到 Black-Scholes
把一期切成很多期、每期漲跌幅愈來愈小，二項模型就會收斂到 Black-Scholes 公式。歐式買權：
其中 \(N(\cdot)\) 是標準常態分配的累積機率。數字例子：\(S = K = 100\)、\(r = 5\%\)、\(\sigma = 20\%\)、\(T = 1\) 年，算出買權約 10.45、賣權約 5.57，兩者相減等於 \(100 - 100e^{-0.05} \approx 4.88\)，符合平價關係。推導與假設見 Black-Scholes。
希臘字母：權利金對什麼敏感
| 符號 | 衡量 | 白話 |
|---|---|---|
| Delta \(\Delta\) | 標的變動 1 元，權利金變多少 | 上例是 0.5；上面數字例子的買權 Delta 約 0.64 |
| Gamma \(\Gamma\) | Delta 的變化速度 | 愈接近履約價愈大 |
| Vega | 波動度變動 1 個百分點的影響 | 愈長天期愈大 |
| Theta \(\Theta\) | 每過一天損失的時間價值 | 買方的成本、賣方的收入 |
| Rho \(\rho\) | 利率變動的影響 | 通常最小 |
建議先看
Khan Academy 的 Black-Scholes 入門，用直覺說明公式各項代表什麼，適合讀完二項模型後接著看。
相關頁面
- 選擇權：買權、賣權、權利金與履約。
- Black-Scholes：公式的推導與假設。
- 隱含波動率：從市價反推波動度。