建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

推論方法總整理

AP Statistics 新版課程共有九種推論程序：比例與平均數各有單樣本、兩樣本的信賴區間與檢定，再加上卡方同質性與獨立性檢定。考試最難的往往不是計算，而是「判斷這題該用哪一種」。本頁先教你用三個問題選出正確程序，再把每種程序的條件與公式整理成一張表，方便考前複習。

怎麼選推論方法？三個問題

問題一：變數是類別還是量化？

類別變數（例如：是否支持、喜歡哪個品牌）→ 參數是比例 \(p\)，或用卡方檢定分析分布。
量化變數（例如：身高、分數、時間）→ 參數是平均數 \(\mu\)。

問題二：有幾組樣本？資料是否成對？

一組樣本：單一比例、單一平均數。
兩組獨立樣本或兩個處理組：兩比例之差 \(p_1 - p_2\)、兩平均數之差 \(\mu_1 - \mu_2\)。
成對資料（paired data）：同一個人前後測、配對實驗。先算每對的差值，再對差值做單一平均數推論（參數是 \(\mu_{\text{diff}}\)）。
類別變數有三個以上類別，或比較兩個類別變數：卡方檢定。

問題三：要估計還是要檢驗主張？

題目問「估計」「多少」「範圍」→ 信賴區間。
題目問「是否有證據」「是否不同」「是否大於」→ 假設檢定。

flowchart TD
    A[資料是什麼變數？] -->|類別| B[幾個類別？比較什麼？]
    A -->|量化| C[幾組？是否成對？]
    B -->|成功／失敗，一組| D[單一比例 z]
    B -->|成功／失敗，兩組| E[兩比例差 z]
    B -->|多類別，比較多組分布| F[卡方同質性檢定]
    B -->|一組樣本中兩個類別變數| G[卡方獨立性檢定]
    C -->|一組| H[單一平均數 t]
    C -->|成對| I[差值的單一平均數 t]
    C -->|兩組獨立| J[兩平均數差 t]

條件與公式一覽

所有程序都要檢查隨機條件與10% 條件（不放回抽樣時 \(n \le 0.10N\)）；下表列出各程序的常態條件與公式。

比例的推論

程序	常態條件	公式
單一比例信賴區間	\(n\hat{p} \ge 10\) 且 \(n(1-\hat{p}) \ge 10\)	\(\hat{p} \pm z^*\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)
單一比例 z 檢定	\(np_0 \ge 10\) 且 \(n(1-p_0) \ge 10\)	\(z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}\)
兩比例差信賴區間	兩組的成功、失敗次數都 \(\ge 10\)	\((\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^*\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\)
兩比例差 z 檢定	用合併比例 \(\hat{p}_c\) 計算的四個期望次數都 \(\ge 10\)	\(z = \dfrac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}\)

其中合併比例 \(\hat{p}_c = \dfrac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}\)，\(x\) 是成功次數。

平均數的推論

程序	常態條件	公式
單一平均數 t 區間	母體近似常態，或 \(n \ge 30\)，或 \(n < 30\) 時樣本圖形無明顯偏態與離群值	\(\bar{x} \pm t^*\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)，\(df = n - 1\)
單一平均數 t 檢定	同上	\(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，\(df = n - 1\)
兩平均數差 t 區間	兩組各自滿足上述條件	\((\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}\)
兩平均數差 t 檢定	同上	\(t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}\)

成對資料用差值的 \(\bar{x}_{\text{diff}}\)、\(s_{\text{diff}}\)、\(n_{\text{diff}}\) 代入單一平均數公式。兩樣本 t 程序的自由度由計算機算出，介於 \(\min(n_1-1, n_2-1)\) 與 \(n_1 + n_2 - 2\) 之間。

卡方檢定

程序	適用情境	公式
卡方同質性檢定	比較多個母體或處理組中，同一個類別變數的分布是否相同	\(\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}\)
卡方獨立性檢定	檢查同一個母體中，兩個類別變數是否有關聯	同上

兩種卡方檢定的期望次數都是 \(E = \dfrac{\text{列總和} \times \text{行總和}}{\text{總和}}\)，自由度 \(df = (r-1)(c-1)\)，常態條件改為所有期望次數都至少 5。

常用臨界值

信賴水準	90%	95%	99%
\(z^*\)	1.645	1.960	2.576

\(t^*\) 隨自由度變化，請用計算機的 invT 或公式表中的 t 分布表查詢。