摘要統計量
摘要統計量（summary statistics）用幾個數字概括量化資料的中心與離散程度，例如平均數、中位數、標準差與四分位距。選對統計量的關鍵在於資料的形狀：對稱分布適合平均數與標準差，偏態或有離群值時適合中位數與四分位距。本頁說明各統計量的計算與解釋、離群值的兩種判斷規則、z 分數、盒鬚圖，以及如何比較兩個分布，對應新版 Topic 1.7–1.9。
中心：平均數與中位數
- 平均數（mean）：\(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}\)，所有值加總後除以個數。
- 中位數（median）：排序後位在正中間的值；\(n\) 為偶數時取中間兩個值的平均。
中位數是抗干擾的（resistant），不太受極端值影響；平均數則會被極端值拉向尾巴的方向。因此：
| 分布形狀 | 平均數與中位數的關係 |
|---|---|
| 大致對稱 | 平均數 ≈ 中位數 |
| 右偏 | 平均數 > 中位數 |
| 左偏 | 平均數 < 中位數 |
離散：標準差、全距與四分位距
- 全距（range）：最大值 − 最小值。簡單，但只看兩個極端值。
- 四分位距（IQR）：\(IQR = Q_3 - Q_1\)，中間 50% 資料的範圍，具抗干擾性。
- 標準差（standard deviation）：
標準差的解釋是「資料值與平均數的典型距離」。例如：「這些學生的通勤時間與平均數 22 分鐘，通常相差約 8 分鐘。」分母用 \(n-1\) 是為了讓樣本變異數成為母體變異數的不偏估計。
考試寫法
解釋標準差時，固定寫成「（變數）通常與平均數（數值）相差約（標準差）（單位）」，情境、數字、單位都要有。
離群值怎麼判斷？
新版 CED 列出兩種常用規則：
- 1.5 × IQR 規則：小於 \(Q_1 - 1.5 \times IQR\)，或大於 \(Q_3 + 1.5 \times IQR\) 的值是離群值。
- 2 個標準差規則：與平均數相差超過 2 個標準差的值是離群值。
範例：\(Q_1 = 12\)、\(Q_3 = 30\)，則 \(IQR = 18\)，\(1.5 \times 18 = 27\)。下界 \(12 - 27 = -15\)，上界 \(30 + 27 = 57\)。一位學生通勤 65 分鐘，大於 57，因此是離群值。考試要寫出計算過程，不能只說「看起來很大」。
盒鬚圖與五數摘要
五數摘要（five-number summary）是：最小值、\(Q_1\)、中位數、\(Q_3\)、最大值。盒鬚圖（boxplot）把它畫出來：盒子從 \(Q_1\) 到 \(Q_3\)，中間一條線是中位數，鬚延伸到非離群值的最小與最大值，離群值用點單獨標出。
盒鬚圖適合比較多組資料，但看不出雙峰或空隙等細節。
z 分數與百分位數
z 分數（standardized score）衡量某個值距離平均數幾個標準差：
\(z > 0\) 表示高於平均，\(z < 0\) 表示低於平均。z 分數可以比較不同尺度的表現，例如 SAT 數學 680 分（\(z = 1.2\)）與 ACT 數學 29 分（\(z = 1.5\)），後者相對表現較好。
百分位數（percentile）是小於或等於該值的資料比例，例如第 80 百分位數表示有 80% 的資料小於或等於它。
怎麼比較兩個分布？
比較分布時，SOCS 四個面向都要用比較級寫：
A 班的考試成績分布大致對稱，B 班則是左偏。A 班的中位數（78 分）低於 B 班（85 分）。A 班的四分位距（20 分）大於 B 班（12 分），表示 A 班成績較分散。兩班都沒有離群值。
只分別列出兩組的數字而不做比較，FRQ 通常不給分。
推薦影音
平均數／標準差 vs. 中位數／IQR
簡述：Khan Academy 比較兩組統計量受離群值影響的程度，說明何時該用哪一組。適合理解「抗干擾性」的意義。
判斷資料中的離群值
簡述：Khan Academy 示範 1.5 × IQR 規則的完整計算步驟，並說明離群值在盒鬚圖上的畫法。
比較分布的範例
簡述：Khan Academy 示範如何用比較級描述兩組分布的形狀、中心與離散，是 FRQ Q2 常見題型的標準寫法。
z 分數入門
簡述：Khan Academy 說明 z 分數的計算與意義，以及如何用 z 分數比較不同資料中的位置。