隨機變數與二項分布
隨機變數（random variable）是把隨機現象的每個結果對應到一個數值，例如「擲 10 次硬幣出現正面的次數」。隨機變數的機率分布列出所有可能值與機率，期望值與標準差則描述它的長期平均與變動程度。二項分布是 AP Statistics 最重要的離散分布，描述「固定次數的獨立試驗中，成功幾次」。本頁對應新版 Topic 2.8–2.10。
離散隨機變數與機率分布
離散隨機變數（discrete random variable）的可能值是可數的，例如 0, 1, 2, 3。它的機率分布（probability distribution）列出每個值與對應的機率，所有機率都要介於 0 到 1，而且總和為 1。
範例：某遊戲每玩一次，獎金 \(X\) 的機率分布如下：
| 獎金 \(x\)（美元） | 0 | 5 | 20 |
|---|---|---|---|
| \(P(X = x)\) | 0.70 | 0.25 | 0.05 |
期望值與標準差怎麼算、怎麼解釋？
期望值（expected value，平均數）：
標準差：
套用範例：\(\mu_X = 0(0.70) + 5(0.25) + 20(0.05) = 2.25\) 美元。\(\sigma_X = \sqrt{(0-2.25)^2(0.70) + (5-2.25)^2(0.25) + (20-2.25)^2(0.05)} = \sqrt{21.1875} \approx 4.60\) 美元。
解釋要放回情境：
- 期望值：「長期玩很多次，每次平均可得約 2.25 美元。」
- 標準差：「每次的獎金通常與平均 2.25 美元相差約 4.60 美元。」
期望值和標準差是描述機率分布的參數，是固定的值。期望值不一定是可能出現的值（這個遊戲不可能剛好拿到 2.25 美元）。
什麼情況可以用二項分布？
二項隨機變數（binomial random variable）計算 \(n\) 次試驗中成功的次數 \(X\)，必須滿足四個條件（常用口訣 BINS）：
| 條件 | 英文 | 意思 |
|---|---|---|
| B 二元 | Binary | 每次試驗只有「成功」或「失敗」兩種結果 |
| I 獨立 | Independent | 各次試驗互相獨立 |
| N 固定次數 | Number | 試驗次數 \(n\) 事先固定 |
| S 機率相同 | Same probability | 每次成功的機率 \(p\) 都相同 |
不放回抽樣時，各次試驗嚴格來說不獨立；但只要樣本數不超過母體的 10%（10% 條件），仍可視為近似獨立。
二項分布的公式
範例：某球員罰球命中率 0.8，罰 10 球。
- 恰好進 8 球：\(P(X = 8) = \binom{10}{8}(0.8)^8(0.2)^2 \approx 0.302\)。
- 至少進 9 球：\(P(X \ge 9) = P(X=9) + P(X=10) \approx 0.268 + 0.107 = 0.376\)。
- 平均進球數：\(\mu_X = 10(0.8) = 8\) 球；標準差 \(\sigma_X = \sqrt{10(0.8)(0.2)} \approx 1.26\) 球。
計算機指令
| 要算的機率 | TI-84 | Desmos |
|---|---|---|
| \(P(X = k)\) | binompdf(n, p, k) |
binomialdist(n, p).pdf(k) |
| \(P(X \le k)\) | binomcdf(n, p, k) |
binomialdist(n, p).cdf(k) |
| \(P(X \ge k)\) | 1 - binomcdf(n, p, k-1) |
1 - binomialdist(n, p).cdf(k-1) |
FRQ 不能只寫指令
要寫出「\(X\) = 10 球中進球的次數，\(X \sim B(10, 0.8)\)，\(P(X \ge 9) \approx 0.376\)」，清楚定義變數、分布、參數與所求範圍。
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