兩平均數的比較
兩平均數的比較用來回答「兩個母體（或兩個處理組）的平均數是否不同、差多少」，參數是 \(\mu_1 - \mu_2\)，例如「使用新教法與傳統教法的學生，期末考平均分數差多少」。資料必須來自兩組獨立的樣本或處理組；如果資料是成對的，要改用 單一平均數的推論 中的成對方法。本頁說明 \(\bar{x}_1 - \bar{x}_2\) 的抽樣分布、兩樣本 t 區間與 t 檢定，對應新版 Topic 4.6–4.10。
兩樣本還是成對？先判斷資料結構
| 情境 | 資料結構 | 方法 |
|---|---|---|
| 30 位學生用新教法、另外 30 位用傳統教法 | 兩組不同的人 → 兩獨立樣本 | 兩樣本 t |
| 30 位學生先後接受兩種教法，各考一次 | 同一人兩次測量 → 成對 | 差值的單一平均數 t |
| 30 對雙胞胎，每對一人用新教法、一人用傳統 | 配對設計 → 成對 | 差值的單一平均數 t |
\(\bar{x}_1 - \bar{x}_2\) 的抽樣分布
實際上用樣本標準差估計，得到標準誤：
和兩比例一樣，是變異數相加再開根號。
兩樣本 t 區間與 t 檢定
自由度：由計算機用公式算出（通常不是整數），介於 \(\min(n_1 - 1, n_2 - 1)\) 與 \(n_1 + n_2 - 2\) 之間。手算時可以保守地用 \(\min(n_1 - 1, n_2 - 1)\)。兩平均數不需要合併標準差。
條件
| 條件 | 要檢查什麼 |
|---|---|
| 隨機 | 兩組各自是獨立的隨機樣本，或是隨機分派的實驗 |
| 10% 條件 | 抽樣時，兩組各自的 \(n \le 0.10N\) |
| 常態條件 | 兩組各自滿足：母體近似常態，或 \(n \ge 30\)，或樣本圖形無明顯偏態或離群值 |
完整範例（四步驟）
一位老師把 53 位自願參加的學生隨機分派到兩組：25 位用新教法（平均 78.2 分、標準差 8.1 分），28 位用傳統教法（平均 72.5 分、標準差 9.4 分）。兩組分數的點圖都沒有明顯偏態或離群值。在 \(\alpha = 0.05\) 下，新教法的平均分數是否較高？
State：\(H_0: \mu_N - \mu_T = 0\)，\(H_a: \mu_N - \mu_T > 0\)，其中 \(\mu_N\)、\(\mu_T\) 分別是這類學生使用新教法與傳統教法的真實平均分數；\(\alpha = 0.05\)。
Plan：兩樣本 t 檢定（two-sample t-test for a difference in means）。
- 隨機：學生被隨機分派到兩組。
- 常態：\(n_1 = 25\)、\(n_2 = 28\) 都小於 30，但兩組點圖都沒有明顯偏態或離群值。
Do：
計算機給出 \(df \approx 50.9\)，\(p\)-value ≈ 0.011。
Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.011 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示，使用新教法的真實平均分數高於傳統教法。因為是隨機分派的實驗，可以推論新教法造成分數提高；但受試者是自願者，結論只適用於類似這些學生的人。
對應的 95% 信賴區間：\(5.7 \pm 2.008(2.404) = (0.87, 10.53)\) 分，區間全為正，也支持新教法平均分數較高。
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兩樣本 t 檢定
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