機率規則
機率（probability）是某事件在大量重複試驗中長期發生的比例，數值介於 0 到 1。AP Statistics 用模擬估計機率，再用加法規則、乘法規則與條件機率處理較複雜的事件。本頁說明機率的意義、模擬步驟、互斥與獨立事件的差別，以及最常用的機率公式，對應新版 Topic 2.3–2.7。
機率的意義與大數法則
擲一枚公正硬幣，正面的機率是 0.5，意思不是「擲兩次一定有一次正面」，而是擲很多次時，正面的比例會趨近 0.5。這就是大數法則（law of large numbers）：試驗次數越多，事件發生的相對次數越接近真實機率。短期結果可能差很多，長期才會穩定。
怎麼用模擬估計機率？
模擬（simulation）是用亂數模仿隨機現象，重複很多次後用相對次數估計機率。描述模擬時要寫清楚：
- 對應方式：如何用亂數代表結果。例如用 1–100 的亂數，1–35 代表「投進」、36–100 代表「沒投進」（命中率 35%）。
- 一次試驗：一次模擬做什麼、記錄什麼。例如產生 10 個亂數，記錄投進的次數。
- 重複與估計：重複很多次（例如 1,000 次），用「事件發生的次數 ÷ 試驗次數」估計機率。
基本機率規則
| 規則 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 範圍 | \(0 \le P(A) \le 1\) | 機率不會小於 0 或大於 1 |
| 全部結果 | \(P(S) = 1\) | 樣本空間所有結果的機率總和為 1 |
| 補集 | \(P(A^C) = 1 - P(A)\) | 「A 不發生」的機率 |
| 等可能結果 | \(P(A) = \dfrac{\text{A 的結果數}}{\text{全部結果數}}\) | 所有結果機會相等時 |
「至少一次」的問題常用補集：\(P(\text{至少一次}) = 1 - P(\text{一次都沒有})\)。
互斥事件與加法規則
互斥事件（mutually exclusive / disjoint events）是不可能同時發生的事件，\(P(A \cap B) = 0\)。
一般加法規則（任兩事件）：
減掉 \(P(A \cap B)\) 是因為交集被算了兩次。若 A、B 互斥，則 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)。
條件機率
條件機率（conditional probability） \(P(A \mid B)\) 是「已知 B 發生時，A 發生的機率」：
用雙向表計算時，就是「在 B 那一列（行）中，A 所占的比例」，和 雙類別變數 的條件相對次數相同。
移項得到一般乘法規則：\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\)，常搭配樹狀圖（tree diagram）處理多階段的問題。
獨立事件
獨立事件（independent events）是指一個事件是否發生，不影響另一事件的機率：
判斷獨立時，要用數字驗證，例如比較 \(P(A \mid B)\) 和 \(P(A)\) 是否相等，不能只憑直覺。
互斥 ≠ 獨立
互斥是「不能同時發生」，獨立是「互不影響」。兩個機率都大於 0 的互斥事件一定不獨立：只要知道 A 發生，就知道 B 一定沒發生，B 的機率從 \(P(B)\) 變成 0。
推薦影音
機率規則與規律
簡述：Crash Course Statistics 第 13 集，介紹加法規則、乘法規則、互斥與獨立事件，並用生活例子說明。適合建立整體觀念。
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簡述：Khan Academy 用模擬示範大數法則：試驗次數越多，實驗機率越接近理論機率。適合搭配本頁「模擬」一節。
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簡述：Khan Academy 用雙向表與樹狀圖示範條件機率的計算。適合練習 \(P(A \mid B)\) 的分母要怎麼選。
條件機率與獨立性
簡述：Khan Academy 示範如何用條件機率判斷兩個事件是否獨立。適合準備「判斷是否獨立並說明理由」的考題。