散布圖與相關係數
散布圖（scatterplot）把兩個量化變數畫成平面上的點，是分析兩變數關係的第一步；相關係數（correlation coefficient）\(r\) 則用一個數字概括線性關聯的方向與強度。本頁說明解釋變數與反應變數的區分、描述散布圖的四個面向、相關係數的性質，以及為什麼相關不等於因果，對應新版 Topic 5.1–5.2。
解釋變數與反應變數
- 解釋變數（explanatory variable）：用來解釋或預測的變數，放在 x 軸。
- 反應變數（response variable）：被預測或被影響的變數，放在 y 軸。
例如用「讀書時數」預測「考試分數」，讀書時數是解釋變數，考試分數是反應變數。
怎麼描述散布圖？
描述散布圖要包含四個面向，並放回情境：
| 面向 | 英文 | 描述方式 |
|---|---|---|
| 形式 | Form | 線性（linear）或非線性（curved） |
| 方向 | Direction | 正相關（x 增加時 y 傾向增加）或負相關 |
| 強度 | Strength | 強、中等、弱：點有多接近整體趨勢 |
| 異常特徵 | Unusual features | 群聚（clusters），或不符合整體趨勢的點 |
範例寫法：
讀書時數與考試分數之間呈現中等強度、正向、線性的關聯：讀書時數越多的學生，考試分數傾向越高。有一位學生讀了 2 小時卻考 95 分，明顯偏離整體趨勢。
注意要用「傾向（tend to）」，因為不是每個點都遵守趨勢。
相關係數 \(r\) 的性質
相關係數 \(r\) 衡量兩個量化變數之間線性關聯的方向與強度：
\[
r = \frac{1}{n-1} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)
\]
| 性質 | 說明 |
|---|---|
| 範圍 | \(-1 \le r \le 1\) |
| 正負號 | \(r > 0\) 正相關，\(r < 0\) 負相關 |
| 強度 | 越接近 \(\pm 1\) 越強；\(r = 0\) 表示沒有線性關聯 |
| 沒有單位 | 改變單位（例如公分改成英寸）不影響 \(r\) |
| 對稱 | 交換 x 與 y，\(r\) 不變 |
| 只看線性 | 強烈的曲線關係也可能 \(r \approx 0\) |
| 不抗干擾 | 一個偏離的點就可能大幅改變 \(r\) |
r 接近 ±1 不代表線性模型就適當
新版 CED 特別強調：相關係數高，不代表直線就是適當的模型。資料可能是彎曲的卻仍有很高的 \(r\)，要搭配散布圖與 殘差圖 一起判斷。
相關為什麼不等於因果？
兩個變數有關聯（甚至強烈相關），不代表一個變數的改變造成另一個變數改變。可能的原因：
- 干擾變數（confounding / lurking variable）：例如冰淇淋銷量和溺水人數正相關，背後是「天氣熱」同時影響兩者。
- 反向因果：可能是 y 影響 x。
- 巧合：資料剛好呈現某種關聯。
要推論因果，需要隨機分派的實驗，見 實驗設計。
推薦影音
雙變數關係的線性、強度與方向
簡述：Khan Academy 用多張散布圖練習判斷形式、方向與強度，是描述散布圖的基礎練習。
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簡述：Crash Course Statistics 第 8 集，用許多有趣的例子說明為什麼相關不能直接推論因果，以及干擾變數如何誤導結論。