雙類別變數
當同一群個體同時記錄兩個類別變數（例如年級與是否參加社團），可以用雙向表（two-way table）整理資料，並用條件相對次數判斷兩個變數是否有關聯。雙向表也是學習條件機率與卡方檢定的起點。本頁說明聯合、邊際、條件相對次數的差別，以及如何用圖表判斷關聯，對應新版 Topic 2.1–2.2。
雙向表怎麼讀？
以下是 200 位高中生的年級與「是否每天運動」的資料：
| 每天運動 | 沒有每天運動 | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 10 年級 | 30 | 70 | 100 |
| 12 年級 | 45 | 55 | 100 |
| 合計 | 75 | 125 | 200 |
聯合、邊際與條件相對次數差在哪？
| 類型 | 英文 | 計算方式 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 聯合相對次數 | Joint relative frequency | 某一格 ÷ 總和 | 10 年級且每天運動：\(30/200 = 0.15\) |
| 邊際相對次數 | Marginal relative frequency | 某一列或行的總和 ÷ 總和 | 每天運動的學生：\(75/200 = 0.375\) |
| 條件相對次數 | Conditional relative frequency | 某一格 ÷ 所在列（或行）的總和 | 10 年級中每天運動：\(30/100 = 0.30\) |
條件相對次數的分母是「已知條件」那一群，所以讀題時要先確認「在哪一群之中」。例如「每天運動的學生中，12 年級的比例」是 \(45/75 = 0.60\)，分母是 75，不是 100。
怎麼判斷兩個類別變數有關聯？
比較條件分布：如果某變數在另一變數各類別中的條件分布不同，兩變數就有關聯（association）；若條件分布都相同，就沒有關聯。
上例中，10 年級每天運動的比例是 0.30，12 年級是 0.45，兩者不同，因此在這份資料中年級與每天運動有關聯。
資料中的關聯 vs. 母體中的關聯
樣本的條件分布只要不完全相同，就能說「這份資料」有關聯；但要判斷母體中是否真的有關聯（差異不只是抽樣變異），需要用 卡方檢定。
雙類別變數的圖表
| 圖表 | 英文 | 特色 |
|---|---|---|
| 並列長條圖 | Side-by-side bar graph | 同一組類別的長條並排，比較次數或比例 |
| 分段長條圖 | Segmented bar graph | 每條長條高度為 100%，依另一變數分段，最適合比較條件分布 |
| 馬賽克圖 | Mosaic plot | 分段長條圖的變形，長條寬度代表各組的人數比例 |
比較條件分布時，要用相對次數而不是次數，因為各組人數可能不同。
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邊際分布與條件分布
簡述：Khan Academy 用雙向表示範如何計算邊際分布與條件分布，以及兩者的差別。適合搭配本頁的表格一起練習。