信賴區間：單一比例
信賴區間（confidence interval）用一段數值範圍估計未知的母體參數，形式是「點估計 ± 誤差界限」。單一比例的信賴區間用樣本比例 \(\hat{p}\) 估計母體比例 \(p\)，例如「本校學生中支持延後上課時間的比例」。本頁說明估計量的性質、信賴區間的公式與條件、如何正確解釋信賴區間與信賴水準，以及如何用信賴區間判斷一個主張，對應新版 Topic 3.1–3.4。
好的估計量要具備什麼？
估計量（estimator）是用來估計參數的統計量。好的估計量要同時做到：
- 不偏（unbiased）：抽樣分布的平均數等於參數，不會系統性地高估或低估。
- 變異小（low variability）：抽樣分布越集中，估計越精確；增加樣本數可以降低變異。
用射箭比喻：偏誤是「瞄準的位置有沒有對準靶心」，變異是「箭有多分散」。\(\hat{p}\) 是 \(p\) 的不偏估計量，抽樣分布見 抽樣分布與中央極限定理。
單一比例信賴區間的公式
- \(\hat{p}\)：點估計（point estimate）。
- \(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\)：標準誤（standard error, SE），估計 \(\hat{p}\) 的抽樣變異。
- \(z^* \times SE\)：誤差界限（margin of error, ME）。
- \(z^*\)：臨界值，90% 用 1.645、95% 用 1.960、99% 用 2.576。
要檢查哪些條件？
| 條件 | 要檢查什麼 | 為什麼 |
|---|---|---|
| 隨機 | 資料來自隨機樣本 | 才能推廣到母體 |
| 10% 條件 | \(n \le 0.10N\) | 不放回抽樣時，各次觀察近似獨立 |
| 常態條件 | \(n\hat{p} \ge 10\) 且 \(n(1-\hat{p}) \ge 10\) | 抽樣分布近似常態，才能用 \(z^*\) |
完整範例（四步驟）
隨機抽樣調查 400 位本校學生，其中 232 位支持延後上課時間。建立 95% 信賴區間。
State：以 95% 信賴水準估計 \(p\) = 本校所有學生中支持延後上課時間的真實比例。
Plan：單一比例 z 信賴區間（one-sample z-interval for a proportion）。
- 隨機：題目說明是隨機樣本。
- 10%：400 位學生少於全校學生的 10%（假設全校超過 4,000 人）。
- 常態：\(n\hat{p} = 232 \ge 10\)，\(n(1-\hat{p}) = 168 \ge 10\)。
Do：\(\hat{p} = 232/400 = 0.58\)。
Conclude：我們有 95% 的信心，本校所有學生中支持延後上課時間的真實比例介於 0.532 到 0.628 之間。
信賴區間與信賴水準怎麼解釋？
| 要解釋的 | 正確寫法 |
|---|---|
| 信賴區間 | 我們有 95% 的信心，（母體參數，含情境）介於（下界）到（上界）之間。 |
| 信賴水準 | 如果重複抽很多個同樣大小的隨機樣本，並各自建立 95% 信賴區間，長期約有 95% 的區間會包含真實的（參數）。 |
最常見的錯誤解釋
- 錯誤：「\(p\) 有 95% 的機率落在 (0.532, 0.628) 之間。」——\(p\) 是固定值，一個已算出的區間要不包含它、要不就沒有，不是機率問題。
- 錯誤：「95% 的學生支持度介於……」——信賴區間估計的是比例這個參數，不是個別學生。
- 錯誤：把 \(\hat{p}\) 寫進結論——要估計的是 \(p\)，\(\hat{p}\) 已經知道了。
什麼會影響誤差界限？
- 信賴水準提高 → \(z^*\) 變大 → 區間變寬。想要更有信心，就要付出精確度的代價。
- 樣本數增加 → SE 變小 → 區間變窄。樣本數變成 4 倍，誤差界限約變成一半。
需要多大的樣本？
若希望誤差界限不超過 \(ME\)，可解出 \(n\)：
沒有先前估計值時，用 \(\hat{p} = 0.5\)（使 \(\hat{p}(1-\hat{p})\) 最大，最保守）。例如 95% 信賴、誤差界限 0.03：\(n \ge (1.96/0.03)^2(0.25) \approx 1067.1\)，所以至少需要 1,068 人（樣本數要無條件進位）。
用信賴區間判斷主張
信賴區間裡的值是參數的合理值（plausible values）。如果有人宣稱「超過一半的學生支持延後上課」，因為整個區間 (0.532, 0.628) 都大於 0.5，所以這個主張有證據支持。如果宣稱的值落在區間內，就是合理的；落在區間外，就有證據反駁。
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