兩比例的比較
兩比例的比較用來回答「兩個母體（或兩個處理組）的比例是否不同、差多少」，參數是 \(p_1 - p_2\)，例如「接種新疫苗組與安慰劑組的感染率差異」。推論的邏輯和單一比例相同，只是統計量換成 \(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\)，標準差公式和條件也要改成兩組版本。本頁說明 \(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\) 的抽樣分布、兩比例差的信賴區間與 z 檢定，對應新版 Topic 3.9–3.13。
\(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\) 的抽樣分布
從兩個母體各自獨立抽樣時：
注意標準差是變異數相加再開根號，不是兩個標準差直接相加或相減。兩組的成功與失敗次數都至少 10 時，抽樣分布近似常態。
兩比例差的信賴區間
條件
| 條件 | 要檢查什麼 |
|---|---|
| 隨機 | 兩組各自是獨立的隨機樣本，或是隨機分派的實驗 |
| 10% 條件 | 抽樣時，兩組各自的 \(n \le 0.10N\)（隨機分派的實驗不需要） |
| 常態條件 | \(n_1\hat{p}_1\)、\(n_1(1-\hat{p}_1)\)、\(n_2\hat{p}_2\)、\(n_2(1-\hat{p}_2)\) 都 \(\ge 10\) |
怎麼解釋區間？
我們有 95% 的信心，（組 1）與（組 2）的真實比例差 \(p_1 - p_2\) 介於 −0.02 到 0.15 之間。
判斷差異時看區間是否包含 0：
- 區間包含 0：0 是合理值，沒有證據顯示兩比例不同。
- 區間全為正：有證據顯示 \(p_1 > p_2\)；全為負：有證據顯示 \(p_1 < p_2\)。
兩比例差的 z 檢定
虛無假設通常是 \(H_0: p_1 - p_2 = 0\)（即 \(p_1 = p_2\)）。因為假設兩比例相等，所以用合併比例（pooled proportion）估計共同的 \(p\)：
常態條件用合併比例檢查：\(n_1\hat{p}_c\)、\(n_1(1-\hat{p}_c)\)、\(n_2\hat{p}_c\)、\(n_2(1-\hat{p}_c)\) 都 \(\ge 10\)。
信賴區間不合併、檢定才合併
信賴區間用各自的 \(\hat{p}_1\)、\(\hat{p}_2\) 計算標準誤；檢定在 \(H_0: p_1 = p_2\) 下才用合併比例 \(\hat{p}_c\)。這是選擇題常見的陷阱。
完整範例
隨機分派 500 位受試者，250 位接受新流感疫苗、250 位接受安慰劑。一季後，疫苗組 20 人感染，安慰劑組 38 人感染。在 \(\alpha = 0.05\) 下，疫苗是否降低感染率？
State：\(H_0: p_V - p_P = 0\)，\(H_a: p_V - p_P < 0\)，其中 \(p_V\)、\(p_P\) 分別是接受疫苗與安慰劑的真實感染率；\(\alpha = 0.05\)。
Plan：兩比例差 z 檢定。隨機：受試者隨機分派到兩組。常態：\(\hat{p}_c = 58/500 = 0.116\)，\(250(0.116) = 29\)、\(250(0.884) = 221\)，都 \(\ge 10\)。
Do：\(\hat{p}_V = 0.08\)，\(\hat{p}_P = 0.152\)。
Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.006 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示，接受新疫苗的真實感染率低於接受安慰劑的感染率。因為這是隨機分派的實驗，可以推論疫苗造成感染率下降。
推薦影音
兩比例差的信賴區間
簡述：Khan Academy 說明兩比例差信賴區間的公式由來與條件，並示範如何解釋區間。
兩比例差的假設檢定範例
簡述：Khan Academy 完整示範兩比例差的 z 檢定，包含合併比例的計算與結論寫法。