Unit 1 練習題
這一頁是 Unit 1「單變數資料與資料蒐集」的練習題，包含摘要統計量、離群值、z 分數的計算，以及抽樣方法、偏誤與實驗設計的判斷題。建議先自己動手算或寫出答案，再點開「解答」對照；解答會示範 AP 考試要求的完整寫法，包括情境與單位。
計算練習
第 1 題：平均數、標準差與中位數
某班 12 位學生的小考成績如下（滿分 100 分）：
62, 70, 74, 75, 78, 80, 81, 83, 85, 88, 90, 98
計算平均數、標準差與中位數。
解答
- 平均數：\(\bar{x} = \dfrac{964}{12} \approx 80.33\) 分。
- 標準差：\(s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \approx 9.59\) 分。
- 中位數：\(n = 12\) 為偶數，取第 6、7 個值的平均：\(\dfrac{80 + 81}{2} = 80.5\) 分。
解釋標準差：這 12 位學生的小考成績，通常與平均 80.33 分相差約 9.59 分。
第 2 題：四分位距與離群值
承第 1 題，求 \(Q_1\)、\(Q_3\) 與 IQR，並分別用 1.5 × IQR 規則與 2 個標準差規則判斷 98 分是否為離群值。
解答
- 下半部（62, 70, 74, 75, 78, 80）的中位數：\(Q_1 = \dfrac{74 + 75}{2} = 74.5\)。
- 上半部（81, 83, 85, 88, 90, 98）的中位數：\(Q_3 = \dfrac{85 + 88}{2} = 86.5\)。
- \(IQR = 86.5 - 74.5 = 12\)。
1.5 × IQR 規則：上界 \(= 86.5 + 1.5(12) = 104.5\)，下界 \(= 74.5 - 18 = 56.5\)。98 < 104.5，不是離群值。
2 個標準差規則：上界 \(= 80.33 + 2(9.59) \approx 99.50\)。98 < 99.50，也不是離群值。
兩種規則都判斷這組資料沒有離群值。
第 3 題：用 z 分數比較表現
小安的數學考了 82 分，全班平均 74 分、標準差 6 分；小博的英文考了 88 分，全班平均 80 分、標準差 10 分。相對於各自的班級，誰的表現比較好？
解答
小安的成績高於班平均 1.33 個標準差，小博只高於班平均 0.80 個標準差，所以相對於班級，小安的表現比較好，雖然小博的原始分數比較高。
第 4 題：由平均數與中位數判斷形狀
某城市家庭年收入的平均數是 52,000 美元，中位數是 41,000 美元。這個分布最可能是什麼形狀？為什麼？
解答
右偏。平均數會被極端值拉向尾巴的方向，而中位數具抗干擾性。平均數（52,000）明顯大於中位數（41,000），表示有少數收入特別高的家庭把平均數往右拉，分布的尾巴往高收入的方向延伸。
第 5 題：比較兩個分布
兩個班級的期末考五數摘要如下：
| 班級 | 最小值 | \(Q_1\) | 中位數 | \(Q_3\) | 最大值 |
|---|---|---|---|---|---|
| A 班 | 48 | 65 | 74 | 82 | 95 |
| B 班 | 60 | 72 | 79 | 84 | 90 |
比較兩班成績分布的中心與離散程度。
解答
- 中心：B 班的中位數（79 分）高於 A 班（74 分），B 班學生的成績大致較高。
- 離散：A 班的 IQR（\(82 - 65 = 17\) 分）大於 B 班（\(84 - 72 = 12\) 分），全距也較大（47 分 vs. 30 分），所以 A 班成績較分散。
比較時要用「高於」「大於」「較分散」這類比較用語，並寫出情境（期末考成績）與數字。
觀念與作答練習
第 6 題：辨認抽樣方法
某高中有 1,500 位學生，分屬 50 個班級。判斷以下每種做法是哪一種抽樣方法：
- 從學生名冊中用亂數產生器選出 100 位學生。
- 隨機選出 4 個班級，調查這些班級的所有學生。
- 從 10、11、12 年級中各隨機選出 40 位學生。
- 在午餐時間詢問經過學生餐廳門口的前 100 位學生。
解答
- 簡單隨機抽樣（SRS）：每組 100 人被選中的機會相同。
- 群集抽樣：隨機選幾個群集（班級），調查群集內的所有人。
- 分層隨機抽樣：依年級分層，在每一層分別做 SRS。
- 便利抽樣：只選容易接觸到的人，不是隨機抽樣，可能有偏誤（例如漏掉不在餐廳吃飯的學生）。
第 7 題：辨認偏誤並說明方向
某地方電台請聽眾打電話表達是否支持興建新體育館，結果 78% 的來電者反對。這個結果可能有什麼偏誤？會高估還是低估反對的比例？
解答
這是自願回應偏誤（voluntary response bias）。是否來電由聽眾自己決定，意見強烈的人（通常是反對者）較可能打電話，因此 78% 很可能高估了全體居民中反對興建的比例。
寫偏誤題時要說明：偏誤的名稱、為什麼會發生，以及偏誤的方向。
第 8 題：設計區集實驗
研究者想比較兩種記憶方法（A、B）對單字測驗成績的影響。60 位自願者中有 24 位是國中生、36 位是高中生，研究者認為年齡層會影響記憶表現。請描述一個隨機區集設計，並說明研究結論可以推廣到誰。
解答
設計：
- 依年齡層把受試者分成兩個區集：國中生（24 人）、高中生（36 人）。
- 在國中生區集內，把 24 人編號 1–24，用亂數產生器選出 12 個不重複的號碼接受方法 A，其餘 12 人接受方法 B。
- 在高中生區集內，同樣把 36 人隨機分成兩組各 18 人，分別接受方法 A、B。
- 所有受試者使用指定方法後接受相同的單字測驗，比較兩種方法在各區集內的平均成績。
為什麼要分區集：年齡層會影響成績，分區集可以降低年齡造成的變異，讓兩種方法的差異更容易看出來。
推論範圍：因為有隨機分派，可以推論方法的差異是由記憶方法造成的；但受試者是自願者而非隨機樣本，結論只適用於與這些受試者相似的學生。
第 9 題：改寫研究問題
把以下模糊的問題改寫成好的研究問題，並說明要用什麼分析方法：「我們學校的學生用手機太久了嗎？」
解答
參考寫法（答案不只一種）：
- 要估計：「本校高中生平日每天使用手機的平均時數是多少？」→ 單一平均數的 t 信賴區間。
- 要檢驗：「本校高中生平日每天使用手機的平均時數是否超過 4 小時？」→ 單一平均數的 t 檢定，\(H_a: \mu > 4\)。
好的研究問題要明確寫出：母體（本校高中生）、變數（平日每天手機使用時數）、參數（平均數），以及檢定時的方向。