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建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 2 練習題

這一頁是 Unit 2「機率、隨機變數與機率分布」的練習題，涵蓋雙向表、條件機率、獨立性、期望值、二項分布、常態分布與抽樣分布的計算。建議先自己算出答案，再點開「解答」對照；解答會寫出變數定義、分布與參數，這也是 FRQ 要求的寫法。

計算練習

第 1 題：雙向表與條件機率

隨機調查 400 位高中生是否有打工，以及是否有駕照：

有駕照 沒有駕照 合計
有打工 90 60 150
沒有打工 110 140 250
合計 200 200 400

隨機選出一位學生，求：

  1. \(P(\text{有打工})\)
  2. \(P(\text{有打工且有駕照})\)
  3. \(P(\text{有駕照} \mid \text{有打工})\)
  4. 「有打工」與「有駕照」是否獨立？說明理由。
解答
  1. \(P(\text{有打工}) = \dfrac{150}{400} = 0.375\)
  2. \(P(\text{有打工且有駕照}) = \dfrac{90}{400} = 0.225\)
  3. \(P(\text{有駕照} \mid \text{有打工}) = \dfrac{90}{150} = 0.60\)（分母是「有打工」的 150 人）
  4. 不獨立。\(P(\text{有駕照}) = \dfrac{200}{400} = 0.50\)，但 \(P(\text{有駕照} \mid \text{有打工}) = 0.60 \ne 0.50\)。知道學生有打工，會改變他有駕照的機率。

第 2 題：加法規則與獨立性

已知 \(P(A) = 0.45\)、\(P(B) = 0.30\)、\(P(A \cap B) = 0.12\)。求 \(P(A \cup B)\) 與 \(P(A \mid B)\)，並判斷 A、B 是否互斥、是否獨立。

解答
\[ P(A \cup B) = 0.45 + 0.30 - 0.12 = 0.63, \qquad P(A \mid B) = \frac{0.12}{0.30} = 0.40 \]
  • 不互斥：\(P(A \cap B) = 0.12 \ne 0\)，兩事件可以同時發生。
  • 不獨立：\(P(A \mid B) = 0.40 \ne P(A) = 0.45\)。（也可以檢查 \(P(A)P(B) = 0.135 \ne 0.12\)。）

第 3 題：樹狀圖與檢驗結果

某疾病的盛行率是 2%。檢驗對患者呈陽性的機率是 95%，對非患者誤判為陽性的機率是 8%。隨機選一人檢驗，求：

  1. 檢驗結果為陽性的機率。
  2. 已知檢驗結果為陽性，此人真的患病的機率。
解答

畫樹狀圖：第一層是否患病（0.02 / 0.98），第二層檢驗結果。

  1. \(P(\text{陽性}) = 0.02(0.95) + 0.98(0.08) = 0.019 + 0.0784 = 0.0974\)
  2. \(P(\text{患病} \mid \text{陽性}) = \dfrac{0.019}{0.0974} \approx 0.195\)

即使檢驗呈陽性，真正患病的機率只有約 19.5%。原因是疾病很少見，大部分陽性結果來自人數眾多的非患者被誤判。

第 4 題：期望值與標準差

某便利商店每天賣出的某款限量甜點數量 \(X\) 的機率分布如下：

\(x\) 0 1 2 3
\(P(X = x)\) 0.20 0.35 0.30 0.15

求 \(\mu_X\) 與 \(\sigma_X\)，並在情境中解釋 \(\mu_X\)。

解答
\[ \mu_X = 0(0.20) + 1(0.35) + 2(0.30) + 3(0.15) = 1.4 \]
\[ \sigma_X = \sqrt{(0 - 1.4)^2(0.20) + (1 - 1.4)^2(0.35) + (2 - 1.4)^2(0.30) + (3 - 1.4)^2(0.15)} = \sqrt{0.94} \approx 0.97 \]

解釋：長期來看，這家店平均每天賣出約 1.4 個限量甜點；每天的銷量通常與平均相差約 0.97 個。

第 5 題：二項分布

某品牌宣稱 30% 的瓶蓋內有中獎訊息。隨機買 12 瓶，令 \(X\) = 中獎的瓶數。

  1. 為什麼 \(X\) 可以視為二項隨機變數？
  2. 求 \(P(X = 4)\)、\(P(X \le 2)\)、\(P(X \ge 5)\)。
  3. 求 \(X\) 的平均數與標準差。
解答
  1. B：每瓶只有中獎或沒中獎；I：各瓶是否中獎互相獨立（12 瓶遠少於總產量的 10%）；N：固定買 12 瓶；S：每瓶中獎機率都是 0.30。
  2. \(X \sim B(12, 0.3)\)：
    • \(P(X = 4) = \binom{12}{4}(0.3)^4(0.7)^8 \approx 0.231\)
    • \(P(X \le 2) \approx 0.253\)（binomcdf(12, 0.3, 2)）
    • \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 0.276\)（1 - binomcdf(12, 0.3, 4)）
  3. \(\mu_X = 12(0.3) = 3.6\) 瓶，\(\sigma_X = \sqrt{12(0.3)(0.7)} \approx 1.59\) 瓶。

第 6 題：常態分布

某測驗分數近似 \(N(500, 100)\)。求：

  1. 分數高於 650 分的比例。
  2. 分數介於 400 到 550 分之間的比例。
  3. 第 90 百分位數的分數。
解答

令 \(X\) = 隨機一位考生的分數，\(X \sim N(500, 100)\)。

  1. \(P(X > 650) = P(Z > 1.5) \approx 0.067\)，約 6.7% 的考生高於 650 分。
  2. \(P(400 < X < 550) = P(-1 < Z < 0.5) \approx 0.533\)，約 53.3%。
  3. 第 90 百分位數的 \(z \approx 1.2816\)，\(x = 500 + 1.2816(100) \approx 628\) 分。

第 7 題：樣本平均數的抽樣分布

某城市成人每天通勤時間平均 28 分鐘、標準差 12 分鐘，分布右偏。隨機抽 36 位成人，求樣本平均通勤時間少於 25 分鐘的機率。

解答

因為 \(n = 36 \ge 30\)，由中央極限定理，\(\bar{x}\) 的抽樣分布近似常態：

\[ \mu_{\bar{x}} = 28, \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = 2 \]
\[ P(\bar{x} < 25) = P\left(Z < \frac{25 - 28}{2}\right) = P(Z < -1.5) \approx 0.067 \]

注意：母體右偏，所以個別成人的通勤時間不能用常態計算；但 36 人的平均數可以。

第 8 題：樣本比例的抽樣分布

某市 60% 的成人支持一項新政策。隨機抽 150 位成人，求樣本比例 \(\hat{p}\) 的平均數、標準差，以及 \(\hat{p} < 0.55\) 的機率。

解答
\[ \mu_{\hat{p}} = 0.60, \qquad \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.6(0.4)}{150}} = 0.04 \]

條件：\(np = 90 \ge 10\)、\(n(1 - p) = 60 \ge 10\)，抽樣分布近似常態；150 人少於全市成人的 10%。

\[ P(\hat{p} < 0.55) = P\left(Z < \frac{0.55 - 0.60}{0.04}\right) = P(Z < -1.25) \approx 0.106 \]

觀念與作答練習

第 9 題：設計模擬

一位籃球員的三分球命中率是 35%。描述如何用亂數模擬，估計他投 10 次三分球「至少進 5 球」的機率。

解答
  1. 對應方式：用亂數產生器產生 1–100 的整數，1–35 代表「進球」，36–100 代表「沒進」。
  2. 一次試驗：產生 10 個亂數（可重複），記錄代表進球的個數，看是否至少 5 個。
  3. 重複與估計：重複 1,000 次試驗，計算「至少進 5 球」的試驗次數，除以 1,000 作為機率的估計值。

（這個機率也可以用二項分布 \(B(10, 0.35)\) 算出：\(P(X \ge 5) \approx 0.249\)。）

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