建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 5 練習題

這一頁是 Unit 5「迴歸分析」的練習題，包含用摘要統計量求最小平方迴歸直線、預測值與殘差的計算、斜率與 \(r^2\) 的解釋，以及殘差圖、外插與相關係數性質的判斷。建議先自己算出答案並寫出情境中的解釋，再點開「解答」對照。

計算練習

6 位學生考前的讀書時數 \(x\)（小時）與考試分數 \(y\) 如下：

\(x\)	2	3	5	6	8	10
\(y\)	65	70	74	80	85	92

解答

計算機（TI-84：LinReg(a+bx)；Desmos：輸入表格後用 \(y_1 \sim a + bx_1\)）得到：

\[ \hat{y} = 59.0 + 3.294x, \qquad r \approx 0.995 \]
\(\hat{y} = 59.0 + 3.294(6) \approx 78.76\) 分。殘差 \(= y - \hat{y} = 80 - 78.76 = 1.24\) 分。

解釋：這位學生的實際分數比迴歸直線的預測高 1.24 分（點在直線上方）。

某研究記錄高中生每週運動時數 \(x\) 與體能測驗分數 \(y\)，得到：

\[ \bar{x} = 20, \quad s_x = 4, \quad \bar{y} = 70, \quad s_y = 15, \quad r = 0.72 \]

解答

斜率與截距：

\[ b = r\frac{s_y}{s_x} = 0.72 \cdot \frac{15}{4} = 2.7, \qquad a = \bar{y} - b\bar{x} = 70 - 2.7(20) = 16 \]

迴歸直線：\(\hat{y} = 16 + 2.7x\)。
每週運動時數每增加 1 小時，預測的體能測驗分數增加 2.7 分。
\(r^2 = 0.72^2 \approx 0.518\)。體能測驗分數的變異中，約有 51.8% 可以用與每週運動時數的線性關係來解釋。
\(\hat{y} = 16 + 2.7(25) = 83.5\) 分。

承第 2 題，一位每週運動 18 小時的學生，體能測驗得 60 分。求殘差，並說明迴歸直線高估還是低估了他的分數。

解答

\(\hat{y} = 16 + 2.7(18) = 64.6\) 分，殘差 \(= 60 - 64.6 = -4.6\) 分。

殘差為負，表示實際分數低於預測，迴歸直線高估了這位學生的分數 4.6 分。

承第 1 題，資料中的讀書時數介於 2 到 10 小時。用迴歸直線預測讀 15 小時的學生分數會得到約 108.4 分。這個預測合理嗎？

解答

不合理。15 小時超出資料的範圍（2–10 小時），這是外插。我們不知道讀書時數超過 10 小時後，關係是否仍然是線性的；而且預測值 108.4 超過滿分 100 分，顯然不可能。外插越遠，預測越不可靠。

一位同學用線性迴歸分析汽車車齡與售價，\(r = -0.91\)。殘差圖呈現明顯的 U 形曲線。他說：「\(r\) 很接近 −1，所以線性模型很適合。」這個說法對嗎？

解答

不對。殘差圖呈現 U 形，表示資料有彎曲的模式，線性模型並不適當（例如新車在前幾年貶值較快，之後變慢）。相關係數接近 ±1 只代表點相當接近某種趨勢，不能單獨證明直線就是適當的模型，一定要搭配殘差圖判斷。

判斷以下敘述是否正確：

解答