Unit 4 練習題

\(df = 15 - 1 = 14\)，\(t^* \approx 2.145\)（TI-84：invT(0.975, 14)）。

\(t^* = 2.145\) 大於 \(z^* = 1.960\)，因為用 \(s\) 估計 \(\sigma\) 帶來額外的不確定性，t 分布的尾巴較厚，區間要寬一點才能維持 95% 的信賴水準。

State：以 90% 信賴水準估計 \(\mu\) = 所有高中生平日每晚的真實平均睡眠時數。

Plan：單一平均數 t 區間。隨機：隨機樣本；10%：16 人少於所有高中生的 10%；常態：\(n = 16 < 30\)，但點圖沒有明顯偏態或離群值。

Do：\(df = 15\)，\(t^* \approx 1.753\)。

Conclude：我們有 90% 的信心，所有高中生平日每晚的真實平均睡眠時數介於 6.41 到 7.99 小時之間。

State：\(H_0: \mu = 8\)，\(H_a: \mu < 8\)，\(\mu\) 同上；\(\alpha = 0.05\)。

Plan：單一平均數 t 檢定，條件同第 2 題。

Do：

Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.048 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示，所有高中生平日每晚的真實平均睡眠時數少於 8 小時。

（對照第 2 題：90% 信賴區間的上界 7.99 < 8，與 \(\alpha = 0.05\) 的單尾檢定結論一致。）

先算差值（前 − 後）：7, 2, 9, 5, 8, 5, 1, 8。

State：\(H_0: \mu_{\text{diff}} = 0\)，\(H_a: \mu_{\text{diff}} > 0\)，其中 \(\mu_{\text{diff}}\) = 這類受試者計畫前減計畫後收縮壓的真實平均差。

Plan：成對 t 檢定（對差值做單一平均數 t 檢定）。題目說明差值近似常態。

Do：

Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.0005 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有很強的證據顯示，參加計畫後收縮壓的真實平均值下降。

注意：這個研究沒有對照組，也不是隨機樣本，所以不能斷定血壓下降是運動「造成」的（可能有季節或其他因素），結論也只適用於類似這 8 位自願者的人。

條件：植物隨機分派到兩組；兩組 \(n\) 都 \(\ge 30\)，常態條件成立。

1. \(t^* \approx 1.996\)，區間 \(= 2.8 \pm 1.996(1.306) = 2.8 \pm 2.61 = (0.19, 5.41)\) 公分。我們有 95% 的信心，使用肥料 A 與肥料 B 的真實平均生長差介於 0.19 到 5.41 公分之間。
2. \(H_0: \mu_A - \mu_B = 0\)，\(H_a: \mu_A - \mu_B \ne 0\)。\(t = \dfrac{2.8}{1.306} \approx 2.14\)，\(p\)-value ≈ 0.036 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示兩種肥料的平均生長不同；因為是隨機分派的實驗，可以推論差異是由肥料造成的。

兩種做法結論一致：區間不包含 0，檢定也拒絕 \(H_0\)。

1. 成對：同一位學生的兩次成績。
2. 兩獨立樣本：兩群不同的學生。
3. 成對：同一個人的左右腳是配對設計，要先算每個人兩款鞋的磨損差值。

不適合。\(n = 12 < 30\)，無法依賴中央極限定理；而樣本資料強烈右偏又有離群值，表示母體可能不是常態。這時 t 程序的結果不可靠，應該增加樣本數，或在作答時說明條件不成立、結果需謹慎解讀。