單一平均數的推論
單一平均數的推論用樣本平均數 \(\bar{x}\) 估計或檢驗母體平均數 \(\mu\)，例如「本校學生每週平均讀書時數」。因為母體標準差 \(\sigma\) 幾乎都未知，要用樣本標準差 \(s\) 代替，此時標準化後的統計量服從 t 分布而不是常態分布。成對資料（paired data）也用同一套方法，只是對象換成每對的差值。本頁對應新版 Topic 4.1–4.5。
為什麼要用 t 分布？
用 \(s\) 代替 \(\sigma\) 會帶來額外的不確定性，所以統計量
的分布比標準常態分布更分散。t 分布的特性：
- 對稱、單峰、以 0 為中心，形狀像常態分布但尾巴較厚。
- 形狀由自由度（degrees of freedom, df）決定；單一平均數的 \(df = n - 1\)。
- 自由度越大，越接近標準常態分布。
因為尾巴較厚，同樣信賴水準下 \(t^* > z^*\)，例如 \(df = 19\) 時 95% 的 \(t^* = 2.093\)，比 \(z^* = 1.960\) 大。
條件
| 條件 | 要檢查什麼 |
|---|---|
| 隨機 | 隨機樣本，或隨機分派的實驗 |
| 10% 條件 | 不放回抽樣時，\(n \le 0.10N\) |
| 常態條件 | 母體近似常態；或 \(n \ge 30\)（中央極限定理）；或 \(n < 30\) 時，樣本資料的圖形（點圖、盒鬚圖等）沒有明顯偏態或離群值 |
\(n < 30\) 時一定要畫出或描述樣本資料的圖形，並說明沒有強烈偏態或離群值，不能只說「假設母體常態」。
單一平均數的 t 區間
範例：隨機抽 20 位學生，每週讀書時數 \(\bar{x} = 12.4\) 小時、\(s = 3.6\) 小時，樣本點圖無明顯偏態或離群值。95% 信賴區間：
我們有 95% 的信心，本校所有學生每週平均讀書時數介於 10.72 到 14.08 小時之間。
單一平均數的 t 檢定
範例：學校宣稱學生每週平均讀書 14 小時。用上面的樣本，在 \(\alpha = 0.05\) 下檢驗 \(H_0: \mu = 14\)，\(H_a: \mu < 14\)。
因為 \(p\)-value ≈ 0.031 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示，本校學生每週平均讀書時數少於 14 小時。
成對資料怎麼分析？
成對資料來自同一個體的兩次測量（前測與後測），或配對設計中的兩個成員。兩個數值不是獨立的，所以不能用兩樣本方法，而是：
- 計算每一對的差值（例如 後測 − 前測），並說明相減的方向。
- 把差值當作一組資料，算出 \(\bar{x}_{\text{diff}}\)、\(s_{\text{diff}}\)。
- 用單一平均數 t 程序推論 \(\mu_{\text{diff}}\)，\(df = n_{\text{diff}} - 1\)。
範例：15 位學生上完補習課程前後各考一次，差值（後 − 前）的 \(\bar{x}_{\text{diff}} = 4.2\) 分、\(s_{\text{diff}} = 6.0\) 分。檢驗 \(H_0: \mu_{\text{diff}} = 0\)，\(H_a: \mu_{\text{diff}} > 0\)：
常態條件要檢查的是差值的圖形，而不是前測或後測各自的圖形。
推薦影音
t 統計量入門
簡述：Khan Academy 說明 σ 未知時為什麼要改用 t 統計量，以及 t 分布和常態分布的差別。
建立平均數的 t 區間
簡述：Khan Academy 示範從樣本資料建立 t 信賴區間的完整步驟，包含查 \(t^*\) 與計算誤差界限。
成對資料的平均數信賴區間
簡述：Khan Academy 示範如何計算差值，再對差值建立信賴區間。適合搭配本頁「成對資料」一節。
t 檢定：成對資料的完美搭配
簡述：Crash Course Statistics 第 27 集，用直覺方式說明 t 檢定的原理，以及成對 t 檢定的使用時機。