建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 3 練習題

這一頁是 Unit 3「比例的推論」的練習題，包含單一比例與兩比例差的信賴區間、假設檢定、樣本數計算、卡方檢定，以及型一、型二錯誤的情境判斷。建議用 State、Plan、Do、Conclude 四步驟完整寫出答案，再點開「解答」對照，練習 FRQ 第 3 題（推論題）的作答方式。

計算練習

第 1 題：單一比例的信賴區間

隨機調查 500 位本市成人，310 位表示每週至少運動 3 次。建立本市成人中每週至少運動 3 次的比例的 95% 信賴區間，並解釋區間。

解答

State：以 95% 信賴水準估計 \(p\) = 本市所有成人中每週至少運動 3 次的真實比例。

Plan：單一比例 z 信賴區間。

隨機：隨機樣本。
10%：500 人少於本市成人的 10%。
常態：\(n\hat{p} = 310 \ge 10\)，\(n(1 - \hat{p}) = 190 \ge 10\)。

Do：\(\hat{p} = 310/500 = 0.62\)。

\[ 0.62 \pm 1.96\sqrt{\frac{0.62(0.38)}{500}} = 0.62 \pm 0.043 = (0.577, 0.663) \]

Conclude：我們有 95% 的信心，本市所有成人中每週至少運動 3 次的真實比例介於 0.577 到 0.663 之間。

第 2 題：需要多大的樣本？

承第 1 題，如果另一個城市想以 90% 信賴水準估計同一個比例，而且誤差界限不超過 0.04，事先沒有任何估計值，至少需要調查多少人？

解答

沒有先前估計值，用最保守的 \(\hat{p} = 0.5\)：

\[ n \ge \left(\frac{1.645}{0.04}\right)^2 (0.5)(0.5) \approx 422.8 \]

樣本數要無條件進位，至少需要 423 人。

第 3 題：單一比例的假設檢定

某網站宣稱 30% 的高中生每天使用其 App。研究者懷疑實際比例更高，隨機調查 250 位高中生，有 90 位每天使用。在 \(\alpha = 0.05\) 下進行檢定。

解答

State：\(H_0: p = 0.30\)，\(H_a: p > 0.30\)，其中 \(p\) = 所有高中生中每天使用此 App 的真實比例；\(\alpha = 0.05\)。

Plan：單一比例 z 檢定。

隨機：隨機樣本。
10%：250 人少於所有高中生的 10%。
常態：\(np_0 = 250(0.3) = 75 \ge 10\)，\(n(1 - p_0) = 175 \ge 10\)。

Do：\(\hat{p} = 90/250 = 0.36\)。

\[ z = \frac{0.36 - 0.30}{\sqrt{\dfrac{0.30(0.70)}{250}}} \approx 2.07, \qquad p\text{-value} = P(Z \ge 2.07) \approx 0.019 \]

Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.019 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠的證據顯示，所有高中生中每天使用此 App 的真實比例高於 30%。

第 4 題：兩比例差的信賴區間

隨機調查 200 位女學生與 220 位男學生，分別有 84 位、66 位表示每週閱讀課外書。建立「女學生比例 − 男學生比例」的 95% 信賴區間，並判斷兩者是否有差異。

解答

\(\hat{p}_F = 84/200 = 0.42\)，\(\hat{p}_M = 66/220 = 0.30\)。條件：兩組都是隨機樣本；成功與失敗次數 84、116、66、154 都 \(\ge 10\)。

\[ (0.42 - 0.30) \pm 1.96\sqrt{\frac{0.42(0.58)}{200} + \frac{0.30(0.70)}{220}} = 0.12 \pm 0.091 = (0.029, 0.211) \]

我們有 95% 的信心，女學生與男學生每週閱讀課外書的真實比例差介於 0.029 到 0.211 之間。因為整個區間都大於 0，有證據顯示女學生每週閱讀課外書的比例較高。

第 5 題：兩比例差的假設檢定

某公司隨機分派 310 位顧客收到兩種不同的促銷郵件：150 人收到 A 版、45 人購買；160 人收到 B 版、30 人購買。在 \(\alpha = 0.05\) 下，兩個版本的購買率是否不同？

解答

State：\(H_0: p_A - p_B = 0\)，\(H_a: p_A - p_B \ne 0\)，其中 \(p_A\)、\(p_B\) 分別是收到 A 版、B 版郵件的顧客真實購買率。

Plan：兩比例差 z 檢定。隨機：顧客隨機分派。合併比例 \(\hat{p}_c = \dfrac{45 + 30}{150 + 160} \approx 0.242\)；\(150(0.242) \approx 36\)、\(150(0.758) \approx 114\)、\(160(0.242) \approx 39\)、\(160(0.758) \approx 121\)，都 \(\ge 10\)。

Do：\(\hat{p}_A = 0.30\)，\(\hat{p}_B = 0.1875\)。

\[ z = \frac{0.30 - 0.1875}{\sqrt{0.242(0.758)\left(\dfrac{1}{150} + \dfrac{1}{160}\right)}} \approx 2.31, \qquad p\text{-value} = 2P(Z \ge 2.31) \approx 0.021 \]

Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.021 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示兩個版本的真實購買率不同；因為是隨機分派，可以推論郵件版本造成購買率的差異。

第 6 題：卡方同質性檢定

研究者從兩所高中各隨機抽 100 位學生，詢問最喜歡的午餐類型：

	便當	麵食	輕食	合計
甲校	42	38	20	100
乙校	30	45	25	100
合計	72	83	45	200

在 \(\alpha = 0.05\) 下，兩校學生最喜歡的午餐類型分布是否不同？

解答

State：\(H_0\)：兩校學生最喜歡的午餐類型分布相同；\(H_a\)：分布不同。

Plan：卡方同質性檢定（從兩個母體分別抽樣）。期望次數：兩校都是便當 \(\dfrac{100 \times 72}{200} = 36\)、麵食 41.5、輕食 22.5，全部 \(\ge 5\)。

Do：

\[ \chi^2 = \frac{(42-36)^2}{36} + \frac{(38-41.5)^2}{41.5} + \frac{(20-22.5)^2}{22.5} + \frac{(30-36)^2}{36} + \frac{(45-41.5)^2}{41.5} + \frac{(25-22.5)^2}{22.5} \approx 3.15 \]

\(df = (2-1)(3-1) = 2\)，\(p\)-value \(= P(\chi^2_2 \ge 3.15) \approx 0.207\)。

Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.207 > 0.05，無法拒絕 \(H_0\)。沒有足夠證據顯示兩校學生最喜歡的午餐類型分布不同。

觀念與作答練習

第 7 題：型一、型二錯誤與後果

某工廠檢驗一批零件，\(H_0\)：不良率 \(p = 0.02\)（合格）；\(H_a\)：\(p > 0.02\)（不合格，退貨）。

在情境中描述型一錯誤與型二錯誤。
對購買零件的客戶來說，哪一種錯誤比較嚴重？應該選較大或較小的 \(\alpha\)？
列出兩種提高檢定力的方法。

解答

型一錯誤：這批零件的不良率其實是 2%（合格），卻被判定為不合格而退貨。型二錯誤：這批零件的不良率其實高於 2%，卻沒有被發現而照常出貨。
對客戶而言，型二錯誤較嚴重，會收到不良率過高的零件。為了降低型二錯誤的機率（提高檢定力），應該選較大的 \(\alpha\)（例如 0.10）。
增加樣本數（檢驗更多零件）；提高 \(\alpha\)。

第 8 題：信賴區間的解釋

某民調的 95% 信賴區間為 (0.48, 0.56)。判斷以下敘述是否正確：

真實比例有 95% 的機率落在 0.48 到 0.56 之間。
如果重複抽樣很多次，約 95% 的區間會包含真實比例。
有證據顯示過半數的人支持。

解答

錯誤。真實比例是固定的值，這個區間要不包含它、要不不包含，沒有機率可言。95% 描述的是方法的長期成功率。
正確。這是信賴水準的正確解釋。
錯誤。區間包含 0.50 以下的值（0.48–0.50），0.50 是合理值，所以沒有足夠證據顯示過半數支持。

第 9 題：同質性還是獨立性？

判斷以下情境該用卡方同質性檢定還是獨立性檢定：

隨機抽 500 位成人，記錄他們的教育程度與偏好的新聞來源。
隨機分派 300 位病人接受三種治療，記錄症狀改善程度（無、部分、完全）。

解答

獨立性檢定：一個樣本、記錄兩個類別變數，問兩者是否有關聯。
同質性檢定：隨機分派成三個處理組，比較改善程度的分布在各組是否相同。