常態分布
常態分布（normal distribution）是對稱、單峰、呈鐘形的連續機率分布，由平均數 \(\mu\) 和標準差 \(\sigma\) 完全決定，記作 \(N(\mu, \sigma)\)。許多自然現象（身高、測量誤差）近似常態，更重要的是，大樣本下的樣本平均數與樣本比例也近似常態，因此常態分布是統計推論的核心工具。本頁說明經驗法則、標準化、如何計算常態機率與百分位數，對應新版 Topic 2.11。
常態分布有哪些特性？
- 對稱、單峰、鐘形，平均數 = 中位數，位於中心。
- \(\sigma\) 越大，曲線越矮越寬；\(\sigma\) 越小，越高越窄。
- 曲線下的總面積為 1，某區間的面積就是落在該區間的機率（或比例）。
- 連續分布中，單一點的機率為 0，所以 \(P(X < a) = P(X \le a)\)。
經驗法則：68–95–99.7
對任何常態分布：
| 範圍 | 約占比例 |
|---|---|
| \(\mu \pm 1\sigma\) | 68% |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | 95% |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | 99.7% |
範例：某校學生身高 \(N(165, 8)\) 公分，則約 95% 的學生身高介於 \(165 \pm 16\)，也就是 149 到 181 公分之間；身高超過 173 公分（\(\mu + 1\sigma\)）的學生約占 \((100\% - 68\%)/2 = 16\%\)。
怎麼計算常態機率？
步驟
- 定義變數與分布：「\(X\) = 隨機一位學生的身高，\(X \sim N(165, 8)\)」。
- 標準化：\(z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}\)，把 \(X\) 轉成標準常態 \(Z \sim N(0, 1)\)。
- 用計算機或常態分布表求面積，並畫圖標出所求區域。
範例：\(P(X > 175) = P\left(Z > \dfrac{175 - 165}{8}\right) = P(Z > 1.25) \approx 0.106\)。約 10.6% 的學生身高超過 175 公分。
反過來：已知比例求數值
範例：身高前 5% 的學生至少多高？先找第 95 百分位數的 z 值：\(z \approx 1.645\)，再換回原單位 \(x = \mu + z\sigma = 165 + 1.645(8) \approx 178.2\) 公分。
計算機指令
| 要算的東西 | TI-84 | Desmos |
|---|---|---|
| \(P(a < X < b)\) | normalcdf(a, b, μ, σ) |
normaldist(μ, σ).cdf(a, b) |
| 第 \(k\) 百分位數 | invNorm(k, μ, σ) |
normaldist(μ, σ).inversecdf(k) |
無上界或無下界時，TI-84 可用 1E99 或 -1E99 代表無限大。
FRQ 寫法
寫出「\(X \sim N(165, 8)\)，\(P(X > 175) = P(Z > 1.25) \approx 0.106\)」，並畫一條常態曲線標出所求面積，就能清楚溝通方法。只寫 normalcdf(175, 1E99, 165, 8) 而沒有標示參數的意義，可能被扣分。
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