型一、型二錯誤與檢定力
假設檢定是根據樣本做決定，所以一定有犯錯的可能。型一錯誤（Type I error）是 \(H_0\) 為真卻拒絕它，型二錯誤（Type II error）是 \(H_0\) 為假卻沒有拒絕它；檢定力（power）則是 \(H_0\) 為假時正確拒絕它的機率。本頁說明兩種錯誤的意義、在情境中的後果、各自的機率，以及如何提高檢定力，對應新版 Topic 3.8。
兩種錯誤怎麼分？
| \(H_0\) 實際上為真 | \(H_0\) 實際上為假 | |
|---|---|---|
| 拒絕 \(H_0\) | 型一錯誤（機率 \(= \alpha\)） | 正確決定（機率 = 檢定力） |
| 無法拒絕 \(H_0\) | 正確決定 | 型二錯誤（機率 \(= \beta\)） |
記法：型一錯誤是「冤枉好人」（虛驚一場），型二錯誤是「放走壞人」（漏掉真實效果）。
在情境中描述錯誤與後果
FRQ 常要求「描述型一（或型二）錯誤，並說明可能的後果」。以 假設檢定：單一比例 的例子（\(H_0: p = 0.5\)，\(H_a: p > 0.5\)）說明：
- 型一錯誤：認為該校每天吃早餐的比例高於 0.5，但實際上沒有高於 0.5。後果：學校可能誤以為早餐推廣有成效而停止推動。
- 型二錯誤：沒有找到證據證明比例高於 0.5，但實際上確實高於 0.5。後果：學校可能誤以為推廣沒有效果，而改用其他更花錢的方案。
描述錯誤時要寫出情境中的結論以及真實情況，不能只寫「拒絕了真的 \(H_0\)」。
錯誤的機率
- \(P(\text{型一錯誤}) = \alpha\)，也就是顯著水準。
- \(P(\text{型二錯誤}) = \beta\)，取決於參數的真實值、樣本數與 \(\alpha\)。
- 檢定力 \(= 1 - \beta\)：參數真實值為某個特定的 \(H_a\) 值時，檢定能正確拒絕 \(H_0\) 的機率。
降低 \(\alpha\) 會降低型一錯誤的機率，但在其他條件不變時會提高 \(\beta\)。選擇 \(\alpha\) 時，要看哪一種錯誤的後果比較嚴重：如果型一錯誤後果較嚴重，就用較小的 \(\alpha\)。
怎麼提高檢定力？
| 做法 | 為什麼有效 |
|---|---|
| 增加樣本數 \(n\) | 抽樣分布變窄，真實效果更容易被看出來（最常用的方法） |
| 提高 \(\alpha\) | 拒絕 \(H_0\) 的門檻放寬，但型一錯誤機率也會增加 |
| 真實參數離 \(p_0\) 越遠 | 效果越大越容易被偵測 |
| 降低變異 | 例如在實驗中使用區集設計，讓處理效果更明顯 |
推薦影音
型一與型二錯誤入門
簡述：Khan Academy 用表格說明兩種錯誤的定義與機率，是本主題最基本的入門影片。
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