假設檢定：單一比例
假設檢定（significance test，又稱 hypothesis test）用樣本資料評估一個關於母體參數的主張。它的邏輯是：先假設主張不成立（虛無假設為真），再看觀察到的結果有多不尋常；如果非常不尋常，就有證據支持對立假設。本頁說明如何寫虛無與對立假設、單一比例 z 檢定的條件與計算、\(p\)-value 的意義，以及如何寫出正確的結論，對應新版 Topic 3.5–3.7。
怎麼寫虛無假設與對立假設？
- 虛無假設 \(H_0\)（null hypothesis）：「沒有效果、沒有改變、沒有差異」的主張，一定用等號，例如 \(H_0: p = 0.5\)。
- 對立假設 \(H_a\)（alternative hypothesis）：研究者想找證據支持的主張，用 \(>\)、\(<\) 或 \(\ne\)。
| 研究問題 | \(H_a\) | 檢定類型 |
|---|---|---|
| 比例是否大於 0.5？ | \(p > 0.5\) | 右尾（單尾） |
| 比例是否小於 0.5？ | \(p < 0.5\) | 左尾（單尾） |
| 比例是否不同於 0.5？ | \(p \ne 0.5\) | 雙尾 |
假設要用參數（\(p\)）而不是統計量（\(\hat{p}\)），並且要在文字中定義參數，例如「\(p\) = 本校所有學生中每天吃早餐的真實比例」。\(H_a\) 的方向要在看資料之前依研究問題決定。
什麼是 \(p\)-value？
\(p\)-value 是假設 \(H_0\) 為真時，得到和觀察結果一樣極端或更極端的統計量的機率。
- \(p\)-value 小：如果 \(H_0\) 是真的，這樣的結果很少見 → 有證據反對 \(H_0\)。
- \(p\)-value 大：這樣的結果在 \(H_0\) 下很常見 → 沒有足夠證據反對 \(H_0\)。
解釋範例：「假設本校所有學生中每天吃早餐的真實比例是 0.5，隨機抽 200 位學生，得到樣本比例 0.58 或更高的機率約為 0.012。」
p-value 不是 H0 為真的機率
\(p\)-value 是在「\(H_0\) 為真」的前提下計算的，所以它不能告訴你 \(H_0\) 為真的機率。
單一比例 z 檢定
條件
| 條件 | 要檢查什麼 |
|---|---|
| 隨機 | 隨機樣本 |
| 10% 條件 | \(n \le 0.10N\) |
| 常態條件 | \(np_0 \ge 10\) 且 \(n(1-p_0) \ge 10\)（用 \(H_0\) 的 \(p_0\)，不是 \(\hat{p}\)） |
檢定統計量
檢定統計量的一般形式是「（統計量 − 參數假設值）÷ 統計量的標準差」，衡量觀察值距離 \(H_0\) 幾個標準差。標準差用 \(p_0\) 計算，因為我們是在假設 \(H_0\) 為真的情況下評估結果。
完整範例（四步驟）
全國高中生每天吃早餐的比例是 0.5。某校隨機抽 200 位學生，116 位每天吃早餐。在 \(\alpha = 0.05\) 下，是否有證據顯示該校的比例高於全國？
State：\(H_0: p = 0.5\)，\(H_a: p > 0.5\)，其中 \(p\) = 該校所有學生中每天吃早餐的真實比例；\(\alpha = 0.05\)。
Plan：單一比例 z 檢定（one-sample z-test for a proportion）。
- 隨機：隨機樣本。
- 10%：200 人少於該校學生的 10%（假設全校超過 2,000 人）。
- 常態：\(np_0 = 200(0.5) = 100 \ge 10\)，\(n(1-p_0) = 100 \ge 10\)。
Do：\(\hat{p} = 116/200 = 0.58\)。
Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.012 < \(\alpha\) = 0.05，我們拒絕 \(H_0\)。有足夠的證據顯示，該校所有學生中每天吃早餐的真實比例高於 0.5。
顯著水準 \(\alpha\) 是什麼？
顯著水準（significance level）\(\alpha\) 是事先設定的門檻，常用 0.05、0.01 或 0.10：
- \(p\)-value \(\le \alpha\)：拒絕 \(H_0\)，有足夠證據支持 \(H_a\)（結果「統計顯著」）。
- \(p\)-value \(> \alpha\)：無法拒絕 \(H_0\)，沒有足夠證據支持 \(H_a\)。
題目沒有給 \(\alpha\) 時，一般用 0.05。\(\alpha\) 也是犯型一錯誤的機率，見 型一、型二錯誤與檢定力。
信賴區間和雙尾檢定的關係
在相同顯著水準下，雙尾檢定的結論和信賴區間一致：\(\alpha = 0.05\) 的雙尾檢定，對應 95% 信賴區間。如果 \(p_0\) 不在 95% 信賴區間內，就會在 \(\alpha = 0.05\) 下拒絕 \(H_0: p = p_0\)。信賴區間的好處是還能告訴你參數大概是多少。
推薦影音
\(p\)-value 與顯著性檢定
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\(p\)-value 如何幫助檢驗假設
簡述：Crash Course Statistics 第 21 集，說明假設檢定與 \(p\)-value 背後的思考方式，以及「統計顯著」的意義。