抽樣分布與中央極限定理
抽樣分布（sampling distribution）是「從同一母體重複抽出相同大小的樣本，統計量所有可能值形成的分布」。它回答一個關鍵問題：樣本統計量通常會離母體參數多遠？中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）則告訴我們，樣本夠大時，樣本平均數的抽樣分布近似常態。這兩個觀念是 Unit 3、4 所有信賴區間與假設檢定的基礎。本頁對應新版 Topic 2.12。
三種分布不要搞混
| 分布 | 是什麼的分布 | 例子 |
|---|---|---|
| 母體分布（population distribution） | 母體中所有個體的值 | 全校 2,000 位學生的睡眠時數 |
| 樣本資料分布（distribution of sample data） | 一個樣本中各個體的值 | 抽出的 50 位學生的睡眠時數 |
| 抽樣分布（sampling distribution） | 很多個樣本的統計量（例如 \(\bar{x}\)） | 抽 1,000 次、每次 50 人，得到的 1,000 個 \(\bar{x}\) |
抽樣分布的「資料點」是統計量，不是個體。
怎麼用模擬理解抽樣分布？
模擬抽樣分布的步驟：
- 假設母體參數已知（例如 \(p = 0.4\)）。
- 從母體隨機抽出大小為 \(n\) 的樣本，計算統計量（例如 \(\hat{p}\)）。
- 重複很多次，把所有統計量畫成點圖或直方圖。
這張圖近似抽樣分布，可以看出統計量的中心、變異與形狀。
隨機化分布是什麼？
在實驗中，可以把觀察到的反應值重新隨機分派到各處理組，每次計算兩組差異，重複很多次得到隨機化分布（randomization distribution）。它顯示「如果處理沒有效果，只靠隨機分派會得到多大的差異」。如果實際觀察到的差異落在隨機化分布的極端位置，就是處理有效的證據。這正是假設檢定的核心想法。
中央極限定理說了什麼？
中央極限定理：從任何形狀的母體抽出隨機樣本，樣本數 \(n\) 越大，樣本平均數 \(\bar{x}\) 的抽樣分布越接近常態。一般以 \(n \ge 30\) 為大樣本的經驗法則；母體越偏，需要的 \(n\) 越大。如果母體本身就是常態，則任何 \(n\) 下 \(\bar{x}\) 的抽樣分布都是常態。
抽樣分布的中心與變異
| 統計量 | 平均數 | 標準差 | 近似常態的條件 |
|---|---|---|---|
| 樣本比例 \(\hat{p}\) | \(\mu_{\hat{p}} = p\) | \(\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\) | \(np \ge 10\) 且 \(n(1-p) \ge 10\) |
| 樣本平均數 \(\bar{x}\) | \(\mu_{\bar{x}} = \mu\) | \(\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) | 母體常態，或 \(n \ge 30\) |
標準差公式在不放回抽樣時要求 10% 條件（\(n \le 0.10N\)）。這張表帶出三個重要結論：
- 統計量的平均數等於參數：\(\hat{p}\) 和 \(\bar{x}\) 都是不偏估計量（unbiased estimator），不會系統性高估或低估。
- 樣本越大，變異越小：標準差和 \(\sqrt{n}\) 成反比，樣本數變成 4 倍，標準差變成一半。
- 樣本夠大時形狀近似常態：可以用常態分布計算統計量的機率。
範例：某城市成人平均通勤時間 \(\mu = 28\) 分鐘、\(\sigma = 12\) 分鐘（右偏）。隨機抽 64 人，\(\bar{x}\) 的抽樣分布近似 \(N\left(28, \dfrac{12}{\sqrt{64}}\right) = N(28, 1.5)\)，因為 \(n = 64 \ge 30\)。所以 \(P(\bar{x} > 31) = P(Z > 2) \approx 0.023\)。
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