卡方檢定
卡方檢定（chi-square test）用來分析雙向表中的類別資料，比較「觀察次數」與「假設 \(H_0\) 為真時的期望次數」差多少。新版 AP Statistics 考兩種卡方檢定：同質性檢定比較多個母體或處理組的分布是否相同，獨立性檢定檢查同一母體中兩個類別變數是否有關聯。本頁說明如何選擇、期望次數與卡方統計量的計算、條件與結論寫法，對應新版 Topic 3.14–3.15。
新版刪除了適合度檢定
舊版的卡方適合度檢定（goodness of fit）已從新版課程刪除，只考同質性與獨立性兩種。
同質性檢定和獨立性檢定怎麼選？
兩種檢定的計算完全相同，差別在於資料怎麼蒐集：
| 同質性檢定（Homogeneity） | 獨立性檢定（Independence） | |
|---|---|---|
| 資料來源 | 從多個母體各自抽樣，或把受試者隨機分派到多個處理組 | 從一個母體抽一個樣本，每個個體記錄兩個類別變數 |
| 問什麼 | 某個類別變數的分布在各組之間是否相同 | 兩個類別變數之間是否有關聯 |
| \(H_0\) | 各組的（變數）分布相同 | 在（母體）中，變數 A 與變數 B 無關聯（獨立） |
| \(H_a\) | 至少有一組的分布不同 | 變數 A 與變數 B 有關聯（不獨立） |
判斷技巧：如果題目說「分別從 10 年級、11 年級、12 年級各抽 100 人」，是同質性；如果說「隨機抽 300 位學生，記錄年級與最喜歡的科目」，是獨立性。
期望次數與卡方統計量
在 \(H_0\) 為真的情況下，每一格的期望次數：
卡方統計量衡量觀察次數 \(O\) 與期望次數 \(E\) 的差距：
其中 \(r\)、\(c\) 是雙向表的列數與行數（不含合計）。\(\chi^2\) 越大，觀察值離 \(H_0\) 越遠，證據越強；\(\chi^2\) 一定 \(\ge 0\)。
卡方分布有什麼特性？
- 只有正值，右偏。
- 形狀由自由度決定；自由度越大，越接近對稱，平均數等於自由度。
- \(p\)-value 一律是右尾面積 \(P(\chi^2 \ge \text{觀察值})\)。
條件
| 條件 | 要檢查什麼 |
|---|---|
| 隨機 | 隨機樣本，或隨機分派 |
| 10% 條件 | 不放回抽樣時，\(n \le 0.10N\) |
| 常態（大樣本）條件 | 所有期望次數都至少 5（看的是期望次數，不是觀察次數） |
完整範例（獨立性檢定）
隨機抽樣 300 位本校學生，記錄年級與最喜歡的運動類型：
| 觀察次數 | 團隊運動 | 個人運動 | 不運動 | 合計 |
|---|---|---|---|---|
| 10 年級 | 60 | 25 | 15 | 100 |
| 11 年級 | 50 | 30 | 20 | 100 |
| 12 年級 | 40 | 30 | 30 | 100 |
| 合計 | 150 | 85 | 65 | 300 |
State：\(H_0\)：在本校學生中，年級與最喜歡的運動類型無關聯；\(H_a\)：兩者有關聯。\(\alpha = 0.05\)。
Plan：卡方獨立性檢定。隨機：隨機樣本。10%：300 人少於全校的 10%（假設全校超過 3,000 人）。期望次數：最小的是 \(100 \times 65 / 300 \approx 21.7 \ge 5\)，全部都至少 5。
Do：每個年級的期望次數都是：團隊 50、個人 28.33、不運動 21.67。
\(df = (3-1)(3-1) = 4\)，\(p\)-value \(= P(\chi^2_4 \ge 9.97) \approx 0.041\)。
Conclude：因為 \(p\)-value ≈ 0.041 < 0.05，拒絕 \(H_0\)。有足夠證據顯示，本校學生的年級與最喜歡的運動類型有關聯。
計算機指令
| 工具 | 做法 |
|---|---|
| TI-84 | 把觀察次數輸入矩陣 [A]，執行 χ²-Test，期望次數會存入矩陣 [B] |
| Desmos | 用表格輸入觀察次數，使用統計推論工具中的卡方檢定 |
推薦影音
卡方同質性檢定入門
簡述：Khan Academy 說明同質性檢定的假設、期望次數計算與結論寫法。適合先建立整體流程。
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卡方檢定（Crash Course）
簡述：Crash Course Statistics 第 29 集，用直覺方式說明卡方統計量如何比較觀察與期望次數。影片也介紹適合度檢定，但新版 AP 已不考這部分。