AP Physics 1 代數基礎・力學
Unit 5 力矩與轉動動力學 Torque and Rotational Dynamics
轉動動力學把牛頓第二定律推廣到轉動：力矩（torque）讓物體產生角加速度，轉動慣量（rotational inertia）則是物體抵抗轉動改變的程度。本單元先學轉動運動學（角位移、角速度、角加速度），再學力矩、轉動慣量、\(\Sigma\tau = I\alpha\) 與靜力平衡。
核心觀念
轉動運動學怎麼對應直線運動？
| 直線運動 | 轉動 | 連結（半徑 \(r\) 處） |
|---|---|---|
| 位移 \(\Delta x\) | 角位移 \(\Delta\theta\)（rad） | \(\Delta s = r\Delta\theta\) |
| 速度 \(v\) | 角速度 \(\omega\) | \(v = r\omega\) |
| 加速度 \(a\) | 角加速度 \(\alpha\) | \(a_t = r\alpha\) |
角加速度固定時，轉動也有對應的運動學方程式：\(\omega = \omega_0 + \alpha t\)、\(\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2\)、\(\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta\)。
力矩怎麼算？
力矩是力使物體繞轉軸轉動的效果：
\(r\) 是轉軸到施力點的距離，\(\theta\) 是 \(\vec r\) 與 \(\vec F\) 的夾角；\(r_\perp\) 稱為力臂（lever arm）。門把裝在離門軸最遠處，就是為了增加力臂。
轉動慣量與哪些因素有關？
轉動慣量 \(I = \Sigma m_i r_i^2\)，不只看質量，更看質量離轉軸多遠。常見形狀（公式表會提供）：
| 物體 | 轉軸 | \(I\) |
|---|---|---|
| 質點 | 距離 \(r\) | \(mr^2\) |
| 細環 | 中心 | \(MR^2\) |
| 實心圓盤／圓柱 | 中心 | \(\tfrac12 MR^2\) |
| 細桿 | 中心 | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| 細桿 | 一端 | \(\tfrac13 ML^2\) |
平行軸定理（parallel axis theorem）：\(I = I_{cm} + Md^2\)。
轉動版牛頓第二定律
靜力平衡的兩個條件
物體完全靜止（或等速且不轉動加速）需同時滿足 \(\Sigma F = 0\) 與 \(\Sigma\tau = 0\)。解題時把轉軸選在「未知力最多」的點，可以讓那些力的力矩為零，少一個未知數。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 角度沒換成弧度（rad）就代入 \(v = r\omega\)。
- 力矩只用 \(rF\)，忘了乘 \(\sin\theta\)。
- 以為轉動慣量只跟質量有關：同質量的環比圓盤的 \(I\) 大。
推薦影音
Unit 5a 轉動運動學（Flipping Physics）
簡述：複習角位移、角速度、角加速度，以及轉動與直線運動的對應關係，對應本頁「轉動運動學」。
Unit 5b 力矩與轉動慣量（Flipping Physics）
簡述：複習力矩、轉動慣量、平行軸定理、轉動版牛頓第二定律與靜力平衡，對應本頁後半段。
練習題
以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。
練習 1：轉盤減速
轉盤以 \(12\ \text{rad/s}\) 轉動，關掉電源後以 \(2.0\ \text{rad/s}^2\) 等角減速。要多久停止？停止前轉了幾圈？
看解答
\(t = \dfrac{0 - 12}{-2.0} = 6.0\ \text{s}\)。
\(\Delta\theta = \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha} = \dfrac{0 - 144}{-4.0} = 36\ \text{rad}\)，約 \(36/2\pi \approx 5.7\) 圈。
練習 2：扳手的力矩
用 \(0.25\ \text{m}\) 長的扳手，在末端施加 \(80\ \text{N}\)、與扳手夾 \(60^\circ\) 的力。力矩多大？
看解答
練習 3：蹺蹺板平衡
\(4.0\ \text{m}\) 長的均勻蹺蹺板支點在中央。\(30\ \text{kg}\) 的小孩坐在左端，\(40\ \text{kg}\) 的小孩要坐在支點右邊多遠才能平衡？
看解答
以支點為轉軸，蹺蹺板自重通過支點不產生力矩：
練習 4：繞在圓盤上的繩子
半徑 \(0.20\ \text{m}\)、質量 \(4.0\ \text{kg}\) 的實心圓盤可繞中心無摩擦轉動，邊緣繞著繩子，以 \(10\ \text{N}\) 定力拉繩。圓盤的角加速度多少？
看解答
\(I = \tfrac12 MR^2 = \tfrac12(4.0)(0.20^2) = 0.080\ \text{kg·m}^2\)，\(\tau = FR = 10 \times 0.20 = 2.0\ \text{N·m}\)。
練習 5：水平懸臂
\(2.0\ \text{m}\)、\(10\ \text{kg}\) 的均勻水平桿左端用鉸鏈固定，右端用垂直向上的繩子拉住，桿上距左端 \(1.5\ \text{m}\) 處掛 \(20\ \text{kg}\) 的重物。求繩子張力。
看解答
以鉸鏈為轉軸（鉸鏈力的力矩為零）：