AP Physics C: E&M 微積分基礎・電磁學
Unit 10 導體與電容器 Conductors and Capacitors
導體（conductor）中的電荷可以自由移動，靜電平衡時內部電場為零、電荷都分布在表面。電容器（capacitor）利用兩個導體儲存電荷與電能。本單元學習導體的靜電性質、用高斯定律推導平行板、圓柱、球形電容器的電容，以及介電質（dielectric）與電容器儲能。
核心觀念
靜電平衡的導體有什麼性質？
- 導體內部 \(E = 0\)。
- 淨電荷全部分布在外表面。
- 整個導體是等位體。
- 表面附近電場垂直表面，大小 \(E = \sigma/\varepsilon_0\)；尖端曲率大處電荷密度較高。
電容的定義與推導
推導步驟：假設帶電 \(\pm Q\) → 用高斯定律求 \(E\) → 積分求 \(\Delta V\) → \(C = Q/\Delta V\)。
| 電容器 | 電容 |
|---|---|
| 平行板（面積 \(A\)、間距 \(d\)） | \(C = \dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\) |
| 同心圓柱（長 \(L\)，半徑 \(a < b\)） | \(C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}\) |
| 同心球殼（半徑 \(a < b\)） | \(C = 4\pi\varepsilon_0\dfrac{ab}{b - a}\) |
介電質
插入介電常數 \(\kappa\) 的介電質後，\(C = \kappa C_0\)。
- 電池保持連接（\(\Delta V\) 固定）：\(Q\) 增為 \(\kappa\) 倍。
- 先斷開電池（\(Q\) 固定）：\(\Delta V\) 與 \(E\) 降為 \(1/\kappa\)。
電容器儲能
能量儲存在電場中，能量密度 \(u = \tfrac12\varepsilon_0E^2\)。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 以為導體內部沒有電荷就沒有電位：導體內部電場為零，但電位等於表面電位（不一定為零）。
- 插入介電質時沒先判斷是 \(Q\) 固定還是 \(\Delta V\) 固定。
- 電容只與幾何形狀和介電質有關，與 \(Q\)、\(\Delta V\) 無關。
推薦影音
電容器複習（Flipping Physics）
簡述：用示範說明電容器的構造、電容的定義、平行板電容推導、介電質與儲能，對應本頁全部小節。
練習題
以下取 \(\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2)\)。
練習 1：平行板電容
面積 \(0.010\ \text{m}^2\)、間距 \(1.0\ \text{mm}\) 的平行板電容器，電容多少？接上 \(12\ \text{V}\) 電池後帶電多少？
看解答
\(Q = C\Delta V \approx 1.06\times10^{-9}\ \text{C}\)。
練習 2：推導球形電容器
推導半徑 \(a\)、\(b\)（\(a < b\)）同心球殼電容器的電容。
看解答
內殼帶 \(+Q\)，兩殼之間 \(E = \dfrac{kQ}{r^2}\)。
練習 3：插入介電質（電池保持連接）
練習 1 的電容器保持接著 \(12\ \text{V}\) 電池，插入 \(\kappa = 3.0\) 的介電質。電容、電荷、儲能各變成幾倍？
看解答
\(\Delta V\) 固定：\(C\) 變 3 倍，\(Q = C\Delta V\) 變 3 倍，\(U = \tfrac12 C(\Delta V)^2\) 變 3 倍。
練習 4：插入介電質（先斷開電池）
若先斷開電池再插入 \(\kappa = 3.0\) 的介電質，電壓與儲能如何變化？
看解答
\(Q\) 固定：\(\Delta V = Q/C\) 降為 1/3，\(U = Q^2/2C\) 降為 1/3。減少的能量是介電質被吸入時電場對它做的功。
練習 5：導體球殼的感應電荷
帶 \(+5.0\ \text{nC}\) 的導體球殼（半徑 \(0.10\ \text{m}\)）中心放一個 \(-2.0\ \text{nC}\) 點電荷。球殼內表面與外表面各帶多少電荷？
看解答
導體內部 \(E = 0\)，取在導體中的高斯面 \(Q_{enc} = 0\)，所以內表面帶 \(+2.0\ \text{nC}\)。
電荷守恆：外表面 \(= 5.0 - 2.0 = +3.0\ \text{nC}\)。