AP Physics C: E&M 微積分基礎・電磁學
Unit 12 磁場與電磁學 Magnetic Fields and Electromagnetism
本單元研究磁場對運動電荷與電流的作用力，以及電流如何產生磁場。用向量外積寫出勞倫茲力 \(\vec F = q\vec v\times\vec B\)，用必歐–沙伐定律（Biot–Savart law）積分求任意電流的磁場，並用安培定律（Ampère's law）處理長直導線、螺線管等對稱情況。
核心觀念
磁力
磁力垂直於速度，不做功。帶電粒子在均勻磁場中做圓周運動，\(r = \dfrac{mv}{qB}\)、週期 \(T = \dfrac{2\pi m}{qB}\)（與速率無關）。電場與磁場同時存在時，\(\vec F = q(\vec E + \vec v\times\vec B)\)；速度選擇器讓 \(v = E/B\) 的粒子直線通過。
必歐–沙伐定律
圓形線圈中心的磁場 \(B = \dfrac{\mu_0 I}{2R}\)。
安培定律
| 電流分布 | 磁場 |
|---|---|
| 無限長直導線 | \(B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\) |
| 長螺線管內部（每單位長度 \(n\) 匝） | \(B = \mu_0 nI\) |
| 粗導線內部（均勻電流，\(r < R\)） | \(B = \dfrac{\mu_0 Ir}{2\pi R^2}\) |
平行導線之間的力
同向電流相吸、反向相斥。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 外積方向判斷錯誤：\(\hat i\times\hat j = \hat k\)，負電荷再反向。
- 安培定律的 \(I_{enc}\) 用了全部電流，而非安培迴路內的電流。
- 以為磁力能改變帶電粒子的動能。
推薦影音
磁場複習（Flipping Physics）
簡述：複習磁偶極、磁性材料、磁力 \(q\vec v\times\vec B\) 與載流導線受力，對應本頁「磁力」。
必歐–沙伐定律與安培定律（Flipping Physics）
簡述：從必歐–沙伐定律推導導線與線圈的磁場，再用安培定律處理對稱情況，對應本頁後半段。
練習題
以下取 \(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m/A}\)、\(e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}\)。
練習 1：外積求磁力
質子以 \(\vec v = (2.0\times10^5\,\hat i)\ \text{m/s}\) 進入 \(\vec B = (0.40\,\hat j)\ \text{T}\) 的磁場，受力多少（含方向）？
看解答
練習 2：速度選擇器
\(E = 2.0\times10^4\ \text{V/m}\)、\(B = 0.10\ \text{T}\) 互相垂直，什麼速率的帶電粒子能直線通過？
看解答
\(qE = qvB \Rightarrow v = E/B = 2.0\times10^5\ \text{m/s}\)，與電荷大小、正負無關。
練習 3：螺線管
長 \(0.50\ \text{m}\)、共 \(1000\) 匝的螺線管通 \(2.0\ \text{A}\) 電流，內部磁場多大？
看解答
\(n = 1000/0.50 = 2000\ \text{turns/m}\)：
練習 4：粗導線內部的磁場
半徑 \(R\) 的長直粗導線均勻載電流 \(I\)。用安培定律求導線內部 \(r < R\) 處的磁場。
看解答
取半徑 \(r\) 的圓形安培迴路，\(I_{enc} = I\dfrac{\pi r^2}{\pi R^2}\)：
練習 5：平行導線的力
兩條相距 \(0.050\ \text{m}\) 的平行長導線各載 \(10\ \text{A}\) 同向電流。每公尺受力多大？相吸還是相斥？
看解答
同向電流相吸。